|
где -- порядок формы
.
Ответ:8
Будем считать, что гладкая поверхность в
задается
параметрически вектор-функцией
,
определенной на плоском множестве
, причем
(столбцы в
матрице Якоби линейно независимы). Координаты на
обозначим через
и
, они называются локальными
координатами на поверхности
. Функцию
называют параметризацией поверхности
. Вводя стандартные координаты
в
,
определим функцию
равенствами
|
Под ориентацией поверхности будем понимать
ориентацию области изменения локальных координат -- ориентацию области
. Последняя
определяется порядком локальных координат, пусть это будет именно
. Рассмотрим
2-форму
|
считая, что коэффициенты заданы в точках поверхности
. Сужением формы
на параметризованную
поверхность
называется
2-форма
|
где
По определению
|
Как видно, определение
зависит от ориентации поверхности. Если изменить ориентацию, то в силу интеграл
изменит знак. Вместе с
тем, при сохранении ориентации определение не зависит от выбора параметризации
поверхности. Последнее вытекает из формулы замены переменных в двойном
интеграле.
Ответ:9
Будем считать, что гладкая поверхность в
задается
параметрически вектор-функцией
,
определенной на плоском множестве
, причем
(столбцы в
матрице Якоби линейно независимы). Координаты на
обозначим через
и
, они называются локальными
координатами на поверхности
. Функцию
называют параметризацией поверхности
. Вводя стандартные координаты
в
,
определим функцию
равенствами
|
Под ориентацией поверхности будем понимать
ориентацию области изменения локальных координат -- ориентацию области
. Последняя
определяется порядком локальных координат, пусть это будет именно
. Рассмотрим
2-форму
|
считая, что коэффициенты заданы в точках
поверхности
.
Сужением формы
на параметризованную поверхность
называется 2-форма
|
где
По определению
|
Как видно, определение
зависит от ориентации поверхности. Если изменить ориентацию, то в силу интеграл
изменит знак. Вместе с
тем, при сохранении ориентации определение не зависит от выбора параметризации
поверхности. Последнее вытекает из формулы замены переменных в двойном
интеграле.
Ответ:10
Поверхностный интеграл 2 рода это интеграл от
дифференциальной 2-формы по ориентированной поверхности в :
|
где и
. Если
поверхность
имеет
параметризацию
|
то значение поверхностного интеграла находится по формуле
|
где и
должны рассматриваться уже как сложные
функции переменных
.
Вектор
|
является нормальным (вообще
говоря, не единичным) к поверхности. Его орт обозначим через . Тогда
|
Эта формула и выражает упомянутую связь.
Ответ: 11
Пусть -- связная жорданова область в
с
координатами
. Данный порядок координат определяет ориентацию пространства
и области
.
Пусть далее
--
дифференциальная 3-форма, определенная на области
. Тогда она может быть записана в виде
. По определению, интеграл от
формы
по
ориентированной области
равен тройному интегралу от функции
по данной области:
|
Эта формула, в частности, выражает связь между интегралом от 3-формы и тройным
интегралом.
При изменении ориентации пространства
(области) функция -- множитель перед базисной 3-формой, определяющей ориентацию, --
изменит знак. Это означает, что в отличии от тройного интеграла интеграл от
3-формы зависит от ориентации области интегрирования.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.