Математика \ Математический анализ

Криволинейные и поверхностные интегралы в пространстве, страница 2

Пусть $ \tau$и $ \nu$-- (ненулевые) касательные векторы к $ \Gamma$в некоторой не угловой точке $ \partial\Gamma$, причем $ \tau$-- касательный к $ \partial\Gamma$, задающий ориентацию края $ \partial\Gamma$, а $ \nu$-- вектор внешней (по отношению к $ \Gamma$) нормали к краю $ \partial\Gamma$. Тогда вектор $ \tau$задает согласованную ориентацию края, если базис векторов $ (\nu,\tau)$задает ориентацию поверхности.

Если ориентация поверхности задана вектором $ \mathbf{n}$нормали к $ \Gamma$, то согласованную ориентацию края поверхности можно охарактеризовать тем условием, что при движении вдоль $ \partial\Gamma$поверхность должна оставаться слева: базис векторов $ (\mathbf{n},\tau,-\nu)$определяет ту же ориентацию пространства $ \mathbb{R}^{3}$, что и базис $ (\mathbf{n},\nu,\tau)$.

Ответ: 4

Ориентация связной области $ D$пространства $ \mathbb{R}^{3}$определяется как ориентация самого пространства $ \mathbb{R}^{3}$, т.е. выбором класса эквивалентных между собой базисов. При этом, два базиса векторов в $ \mathbb{R}^{3}$считаются эквивалентными, если переход от одного из них к другому осуществляется матрицей перехода, имеющей положительный определитель.

Будем считать, что граница $ \partial D$области $ D$является кусочно гладкой замкнутой поверхностью. Как двусторонняя поверхность в $ \mathbb{R}^{3}$она обязательно ориентируема. Выбор ориентации поверхности можно осуществить выбором базиса касательных векторов $ (\tau_{1},\tau_{2})$в некоторой не угловой точке поверхности.

Пусть $ \mathbf{n}$-- вектор внешней нормали к $ \partial D$. Ориентация границы области $ D$считается согласованной с ориентацией самой области, если базис векторов $ (\mathbf{n},\tau_{1},\tau_{2})$в некоторой точке $ \partial D$задает ориентацию $ D$, в то время как векторы $ (\tau_{1},\tau_{2})$определяют ориентацию $ \partial D$.

Это соглашение, в частности, означает, что если ориентация границы области задается вектором нормали, то согласованную ориентацию задает всегда вектор внешней нормали. Впрочем, это будет не так, если определение ориентации поверхности по ее стороне (т.е. по нормали) согласовывать не с положительной ориентацией пространства, а со стандартной (выделенной) ориентацией пространства, если такая имеется, как, например, в $ \mathbb{R}^{3}$.

Ответ:5а

На плоскости 1-формы это линейные функции с коэффициентами, зависящими от точки (более аккуратно, -- это функции, определенные на подмножествах из $ \mathbb{R}^{2}$и принимающие значения в пространстве линейных функций на $ \mathbb{R}^{2}$). Если $ x,y$-- координаты в $ \mathbb{R}^{2}$, то 1-форма имеет вид

$\displaystyle \omega=A (x,y)\,dx+B (x,y)\,dy\,,$


где $ dx,dy$-- базис в пространстве линейных функций. Они определены формулами

$\displaystyle dx ( \mathbf{v})=v_{1}\,,\quad dy ( \mathbf{v})=v_{2} \qquad \mathbf{v}= (v_{1},v_{2})\,,$

т.е. это проекции на оси координат.

Интеграл от 1-формы $ \omega=A\,dx+B\,dy$по ориентированной кривой $ \Gamma$с параметризацией $ \gamma (t)= (x (t),y (t))\,, t\in[a,b]$, определяется равенством

$\displaystyle \int\limits_{\Gamma}\omega= \int\limits_{a}^{b}[A (\gamma (t)) x' (t)+B (\gamma (t))y' (t)]\,dt\,.$


Его определение не зависит от параметризации (ориентированной) кривой, но зависит от ее ориентации.

Физический смысл этого интеграла -- работа силы $ \mathbf{F}= (A,B)$на пути $ \Gamma$. Поэтому $ \omega=A\,dx+B\,dy$называется 1-формой работы силы $ \mathbf{F}$.

Ответ: 5б

В пространстве $ \mathbb{R}^{3}$можно рассматривать рассматривают 0-формы, 1-формы, 2-формы и 3-формы.

0-формы это просто функции, заданные на подмножествах из $ \mathbb{R}^{3}$и принимающие числовые значения.

1-формы это линейные функции на $ \mathbb{R}^{3}$с коэффициентами, зависящими от точки (более аккуратно, -- это функции, определенные на подмножествах из $ \mathbb{R}^{3}$и принимающие значения в пространстве линейных функций на $ \mathbb{R}^{3}$). Если $ x,y,z$-- координаты в $ \mathbb{R}^{3}$, то 1-форма имеет вид

$\displaystyle \omega=A (x,y,z)\,dx+B (x,y,z)\,dy+C (x,y,z)\,dz\,,$

где $ dx,dy,dz$-- базис в пространстве линейных функций. Они определены формулами

$\displaystyle dx ( \mathbf{v})=v_{1}\,,\quad dy ( \mathbf{v})=v_{2}\,,\quad dz ( \mathbf{v})=v_{3}\,, \qquad \mathbf{v}= (v_{1},v_{2},v_{3})\,,$

т.е. это проекции на оси координат.

2-формы это билинейные антисимметричные функции с коэффициентами, зависящими от точки. 2-форма имеет вид

$\displaystyle \omega=A (x,y,z)\,dy\wedge dz+B (x,y,z)\,dz\wedge dx+C (x,y,z)\,dx\wedge dy\,,$

где $ dy\wedge dz,dz\wedge dx, dx\wedge dy$-- базис в пространстве билинейных антисимметричных функций. Они определены равенствами

$\displaystyle dy\wedge dz ( \mathbf{u}, \mathbf{v})= \begin{vmatrix}u_{2}& v_{2... ...bf{u}, \mathbf{v})= \begin{vmatrix}u_{1}& v_{1}\\ u_{2}& v_{2} \end{vmatrix}\,,$

где $ \mathbf{u}= (u_{1},u_{2},u_{3})\,,\; \mathbf{v}= (v_{1},v_{2},v_{3})$. Как видим, они вычисляют с точностью до знака площади проекций параллелограмма, построенного на векторах $ \mathbf{u}, \mathbf{v}$на соответствующие координатные плоскости.

3-форма -- это заданная в точках пространства антисимметричная функция трех векторных аргументов, линейная по каждому векторному аргументу. 3-форма имеет вид

Скачать файл