где все невыписанные элементы — нулевые.
Аналогично матрица L строится как предел последовательности матриц Аkудовлетворяющих соотношению
(k=1,2,….
),
где A0=A.
При преобразовании матрицы Аk-1с
помощью матрицы простого поворота на каждом шаге аннулируется внедиагональный
элемент (l
m)
Из условия , где
— элемент преобразованной
матрицы, получаем соотношение
Tg2θ=,
где qвсегда
выбираем в пределах [2q]π/2
При таком выборе qимеем:
sinq= ; cosθ=
;
где
ω=sign.
Матрица Ak-1 преобразуется по формулам:
(i,j
l,m);
(i
l,m);
;
;
;
;
Внедиагональные элементы аннулируются циклически в соответствии со следующей нумерацией пар ( l,m) :
(1,2) , (1,3) , (2,3) , (1,4) , (2,4) , (3,4) . . . , (1, N) , (2, N) , . . . , (N-1, N) .
Для того чтобы не аннулировать малые внедиагональные элементы, в то время как еще присутствуют большие по значению элементы, осуществляется проверка условия:
││<V/N,
где Vвначале выбирается равной V0=, а
после того, как все внедиагональные элементы станут по модулю меньше, чем V0,происходит уменьшение этой величины в N раз.
Указанный процесс продолжается до тех пор, пока все внедиагональные элементы не станут меньше по модулю, чем величина
V1=10-6V0/N.
Матрица R, содержащая собственные векторы матрицы А, вычисляется как произведение матриц простых поворотов Tk (k = 1,2,...).
Обращение к подпрограммам имеет соответственно вид:
CALL EIGEN (A,R,N,MV);
CALL DEIGEN (A,R,N,MV);
А — массив, содержащий верхнюю треугольную часть исходной симметричной матрицы (точность обычная или удвоенная). При выходе из подпрограммы элементы этого массива, соответствующие диагональным элементам матрицы, содержат собственные значения, расположенные в порядке убывания;
R — массив, содержащий при выходе из подпрограммы матрицу собственных векторов, расположенную по столбцам в той же последовательности, что и собственные значения (точность обычная или удвоенная);
N — порядок матриц Aи R;
MV— параметр, определяющий характер вычислений;
МV = 0 — вычисляются собственные значения и собственные векторы;
МV = 1 — вычисляются только собственные значения (массив R в этом случае не используется, но имя его должно быть обязательно задано в обращении).
Особенности формирования вектора нагрузок применительно
к тепловой задаче
Тепловой баланс тепла в произвольный момент времени с учетом аппроксимации его объема и теплофизических параметров, описывается системой обыкновенных диффиренцированных уравнений первого порядка.
Пусть на границе поверхности S1 происходит конвективный теплообмен интенсивностью
при
на S3
где [C] – матрица теплоемкости;
[K] – матрица теплопроводности;
{θ}v – вектор столбец нагрузок, вызванный внутренним теплоисточником в объеме V;
{gi}S1 – вектор теплопотока на S2;
- вектор теплоотдачи на S1;
При рассмотрении задачи нестационарной теплопроводности, каждый элемент объема тела VK обладает конкретными теплофизическими свойствами:
- теплопроводность λК [Вт/см3.градус];
- теплоемкость Сρk [Дж/см.3градус];
- внутренние потоки QK [Вт/см3.];
На поверхности S1 происходит конвективный теплообмен интенсивностью
Где - коэффициент теплоотдачи температуры
стенки [Вт/см3.градус];
- температура среды,
омывающей поверхность [градус];
Т – температура стенки тела;
На
поверхности S1
действуют теплопотоки [Вт/см.2], приводящие
к изменению температуры в объеме тела, a на отдельных
участках поверхности тела S3 температура
задана и характер изменения ее во времени известен.
Выбранная дискретизация исследуемого объема среды при рассмотрении различных физических задач остается в основном неизменным, что говорит о ее универсальности. Индексация объемов и поверхностей показанная здесь одинаковым обозначением на самом деле не совпадает при решение различных задач. Это обусловлено тем, что физические процессы как например, охлаждение за счет теплоотвода и нагружение от сосредоточенных сил, происходит в разных областях данного тела.
Для того чтобы правильно решать уравнение необходимо выполнить некоторые условия:
-
необходимо в матрице
теплопроводности, полученной для объема, добавить матрицу теплопроводности,
полученную в следствии дополнительного теплообмена на поверхности S1 c коэффициентом .
для
одного элемента.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.