Вычисление собственных значений cобственных векторов действительной симметричной матрицы

СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ.

ВЫЧИСЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ

CОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ

ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ СИММЕТРИЧНОЙ МАТРИЦЫ

Подпрограмма ЕIGЕN с обычной (DEIGEN с удвоенной) точностью. Подпрограмма предназначена для нахождения всех собственных чисел и собственных векторов квадратной симметричной матрицы Aпорядка Nс помощью итерационного метода Якоби (метода вращений). Известно, что для симметричной матрицы Aсуществует ортогональная матрица R такая, что R^TAR=L, где R^T— транспонированная, а L— диагональная матрица. Так как R^T = R^-1, то матрица L подобна матрице Aи, следовательно, имеет те же собственные значения, что и матрица A. Поскольку собственными значениями диагональной матрицы являются ее диагональные элементы, то, зная R, можно найти все собственные значения А. Одновременно получаются собственные векторы матрицы A.

Действительно, если l₁ — 1-й диагональный элемент матрицы L, то соответствующим ему собственным вектором будет вектор

е₁ = (0,0, ...,1,...,0,0),

т.е.   (R^TAR)e₁=l₁e₁, или A(Re₁) = l₁ (Re₁).Последнее равенство показывает, что вектор Re₁есть собственный вектор матрицыA, соответствующий собственному значениюl₁.

Компонентами вектора Re₁,являются элементы 1-го столбца матрицы R.

Таким образом, для нахождения собственных чисел и собственных векторов матрицы Aнеобходимо построить матрицы L и R.

В методе вращений матрица R строится как предел последовательности произведений матриц простых повторов следующего вида: