Треугольный элемент. Функции формы для элементов высокого порядка. Вычисление производных функций формы. Программа MCHB

2. ТРЕУГОЛЬНЫЙ ЭЛЕМЕНТ

Каждая координатная компонента для треугольного элемента представляет собой отношение расстояния от выбранной точки до одной из сторон треугольника к высоте, опущенной на ту же сторону. Координаты треугольника обознача­ются через L1, L2 и L3. Эти три величины не являются независи­мыми, они связаны между собой соотношением

L1+L2+L3=1               (1)

Каждому типу треугольных элементов соответствует интерпо­ляционный полином определенного порядка. Квадратичный тре­угольный элемент, например, содержит шесть узлов (фиг. 1);  интерполяционный полином для него имеет вид

j=a₁+a₂ x+a₃ y+a₄ x²+a₅ x y+a₆ y².                              (2)

Величина a_i в формулах (2) может быть определена методами, изложенными в гл. 3. Алгебраические операции при этом, однако, становятся более сложными, так как число узлов возрастает. Более предпочтительным оказывается, непосредствен­ное получение функций формы. Использование естественной систе­мы координат значительно упрощает эту операцию в случае

Фиг. 1,  квадратичный элемент.

треугольного элемента. Мы начнем обсуждение треугольных элемен­тов высокого порядка с рассмотрения непосредственного получения  функций формы.

2.1.Функции формы для элементов высокого порядка

Общая формула для вычисления функции формы имеет вид

                           (4)

где n-порядок треугольника, а F_d-функции от L₁, L₂  и L₃.Порядок треугольника

n определяется как величина , на единицу меньшая числа узлов на стороне треугольника .Квадратичный треугольник имеет три узла  на стороне и поэтому является элементом второго порядка .

   Функция F_d определяются из уравнений п линий, которые про­ходят через все узлы, за исключением узла, для которого опреде­ляется функция формы. Если рассматривается уравнение прямое L₁=c , то F_d=L₁-с. Знаменатель (4) есть значение F_d, опреде­ляемое с помощью координат узла b (узла, в котором вычисляет­ся N_b).

Фиг. 2. Функции формы для квадратичного элемента

N₁=L₁( 2 L₁-1),  N₂=4 L₁ L_{2 ,}  N₃=L₂( 2 L₂-1),

N₄=4 L₂ L₃ ,  N₅=L₃( 2 L₃-1)  , N₆=4 L₁ L₃;

2.2.Вычисление производных функций формы

В качественезависимых координат выберем координаты L₁ и L₂ . Дифференцируя  получаем

                              (5)

Матрица Якоби имеет вид

                                           (6)

Поэтому

                                                (7)

Таким образом, для производных получаем

                                            (8)

Чтобы учесть зависимую координату L₃, можно поступить двояко: либо переписать все функции формы, выразив их через L₁ и L₂ , либо заметить, что             

                (9)

Производная ¶L₁/¶L₁ равна единице, a ¶L₂/¶L₁ равна нулю, так как L₁ и L₂ независимые. Третье слагаемое может быть вычислено с помощью соотношения

L₃=1-L₁-L₂.                                (10)

Дифференцируя его, имеем

                      ¶L₃/¶L₁=-1.

Теперь формула (9) преобразуется к виду

                         (11а)

Аналогичное выражение получаем для ¶N_b/¶L₁:

                                                                            (11б)

Принятые в формулах (11a) и (116) обозначения могут сначала вызвать недоумение, потому что члены ¶N_b/¶L₁ и ¶N_b/¶L₂ находятся в обеих частях равенства. Частная производная от N_b  в левой части равенств вычисляется, когда N_b выражена как функция независимых координат L₁ и L₂. В правой части функция N считается выраженной через L₁ ,L₂ ,L₃ .

Соотношения преобразований координат, определяющие форму элемента, обычно записываются с использованием трех координат. Следовательно, при вычислении матрицы Якоби должны приме­няться формулы (11а) и (116).

Применение сформулированных выше положений иллюстри­руется на следующем примере.

Пример.

  Требуется вычислить ¶N₄/¶xв точке (1, 4) для квадратичного треугольного элемента, показанного ниже.

  Форма элемента может быть задана с помощью линейных функ­ций формы L₁, L₂ и L₃ и координат узловых точек, расположенных в вершинах треугольника. Запишем формулы преобразований ко­ординат

X=L₁X₁+L₂X₂+L₃X₃,

Y=L₁Y₁+L₂Y₂+L₃Y₃.

 После подстановки узловых координатимеем

X=3L₂+L_3,

Y=2L₂+6L₃.

Вычислим производные, входящие в матрицу Якоби:

Матрица Якоби и обратная к ней матрица имеют вид

Функция формы N₄ есть 4L₂ L₃. Дифференцируя ее по L₁ и L₂,

получаем                             

Подстановкаэтих частных производных вместе с [J]^-1  в формулу (8)

дает

или