Математика \ Основы метода конечных элементов

Метод конечных элементов. Соотношения, определяющие элементы. Основные гипотезы теории упругопластических деформаций, страница 3

 Заметим, что если принять условие несжимаемости материала, то тогда, как следует из соотношений (8) и (9), диаграмма  деформирования материала совпадает с  диаграммой сжатия.

Здесь же следует отметить, что в данной работе условием текучести принимается условие Мизеса

sт=(1/2)0.5((sx-sy)2+(sy-sz)2+(sz-sx)2+6(t2xy+t2yz+t2zx))0,5, как хорошо отвечающее практическим исследованиям.

Зависимости между напряжениями и деформациями за          пределами упругости

Сформулированные ранее гипотезы полностью определяют зависимости компонентов напряжений от компонентов деформаций.

 Для получения этих зависимостей в окончательной форме определим функцию y. Подставим компоненты деформаций по формулам (5) в выражение для интенсивности деформаций

ei =(2/9)0,5((ex-ey)2+(ey-ez)2+(ez-ex)2+(3\/2)(g2xy+g2yz+g2zx))0,5 , используя при этом соотношение s=(1/2)0.5((sx-sy)2+(sy-sz)2+(sz-sx)2+6(t2xy+t2yz+t2zx))0,5.

Тогда получим

y=1,5(ei/si),                                                                                                    (11)

и зависимости (5) принимают вид

 sx-s0=2si/3ei(ex-e0)

 sy-s0=2si/3ei(ey-e0)

 sz-s0=2si/3ei(ez-e0)                                                                                       (12)

 txy=(si/3ei)/gxy

 tyz=(si/3ei)/gyz

 tzx=(si/3ei)/gzx .

 Для несжимаемого материала в формулах (12) следует положить e0=0.

 Если пластическая деформация сопровождается нагревом тела, то зависимости (12) остаются в силе. Это объясняется тем, что в результате нагрева изменяются только линейные деформации, причем на одинаковые величины. Поэтому компоненты девиатора деформаций при нагреве не меняется.

  Рассмотрим разделение деформации на упругую и пластическую. При этом вспомним, что в пределах упругости y=1/2G.

  Поэтому положим в формулах (5)

y=1/2G+j                                                                                           (13)

   Тогда, используя выражение (2), получим

ex=1/E(sx-m(sy+sz))+j(sx-s0);

…………………………                                                                        (14)

gzx=tzx/G+2jtzx.

  Заметим, что согласно формулам (13) и (11)

j=(3/2)ei/si-1/2G                                                                                      (15)

  Первые слагаемые в выражениях (14) представляют собой компоненты упругой деформации, а вторые – компоненты пластической деформации. Следовательно, последние определяются формулами

  exp=j(sx-s0);

…………….                                                                                                 (16)

gzxp=2jtzx                                      

   Подставим в соотношение

eip =(2/9)0,5((exp-eyp)2+(eyp-ezp)2+(ezp-exp)2+(3\/2)(g2xyp+g2yzp+g2zxp))0,5

компоненты пластической деформации по формулам (16). Тогда, используя выражение  s=(1/2)0.5((sx-sy)2+(sy-sz)2+(sz-sx)2+6(t2xy+t2yz+t2zx))0,5, можно установить

eip=jsi (2\3)                                                                                                   (17)

и, следовательно

j=1,5еip/si

Поэтому зависимости (16) принимают вид

exp=1,5eip/(sx-s0)

…………….                                                                                                   (18)

gzxp=(3eip /si)tzx

Согласно соотношению для  зависимости интенсивности деформаций от интенсивности напряжений

eie=si /3G.                                                                                                      (19)

Сложим соотношения (17) и (19). Тогда, принимая во внимание выражение (15), имеем

eie+eip=ei                                                                                                        (20)

  Таким образом, интенсивности полных, упругих и пластических деформаций обладают теми же аддитивными свойствами, что и сами деформации.

Методы переменных параметров упругости.

Основными уравнениями расчетов за пределами упругости являются дифференциальные уравнения рвновесия

dsx/dx+dtyx/dy+dtyz/dz+X=0    

dsy/dy+dtyx/dx+dtyz/dz+Y=0

dsz/dz+dtyz/ dy+dtzx/ dx+Z=0,

условия на поверхности

X=sxl+tyxm+tzxn

Y=sym+txyl+tzyn

 Z=szn+tzym+tzxl,

где l, m, n-направляющие косинусы, а так же приведенные в работе [2] условия совместности деформаций,  зависимости между деформациями и напряжениями.

Скачать файл