Метод конечных элементов. Соотношения, определяющие элементы. Основные гипотезы теории упругопластических деформаций, страница 2

                  -1           i=1                                                         i=1j=1

Порядок квадратурных формул ,требуемый для точного вычисления объемных интегралов, дан в табл.1. Для определения матриц элемента кубичного четырехугольника требуется 16 точек интегрирования

Табл.1. Порядок квадратур Гаусса-Лежандра для двумерных элементов

Элемент	Слагаемое уравнения
	[N]T[N]	[B]T[B]	[N]T
Координаты локальной системы	x,h	x,h	x,h
Кубичный	4,4	3,3	2,2

             3. Основные гипотезы теории упругопластических деформаций

Основные положения теории упругопластических деформаций являются обобщением некоторых следствий закона Гука для неодноосного напряженного состояния.

В основу теории упругопластических деформаций положены следующие гипотезы.

1)  Объемная деформация прямо пропорциональна среднему нормальному напряжению, причем связывающий их коэффициент пропорциональности тот же, что и в пределах упругости.

2)  Компоненты девиатора деформаций пропорциональны компонентам девиатора напряжений.

3)  Интенсивность напряжений является функцией интенсивности деформаций, не зависят от типа напряженного состояния.

Более подробный разбор этих положений.

Согласно первой гипотезе

             D=(s_х+s_у+s_z)/3К,                                                                                     (1)

где К-объемный модуль упругости, определяемый формулой:

 K=E/(3(1-2m).                                                                                                      (1а)

Учитывая, что

s₀=(s_x+s_y+s_z)/3 и  D=3e₀=e_x+e_y+e_z, получаем

s₀=3Кe₀.                                                                                                                  (2)

Заметим, что возможна и другая формулировка первой гипотезы; за счет пластической деформации изменения объема не происходит.

  Исследования показывают, что обычно изменения объема невелико и поэтому ем можно пренебречь. Тогда на основании соотношения для D в инженерных расчетах можно положить

e₀=0.                                                                                                                           (3)

 В таком случае принято говорить, что материал несжимаем, а условие для e₀ представляет  собой условие несжимаемости.

 Как следует из формул (1) и (1а), допущение о равенстве объемной деформации нулю эквивалентно предположению, что объемный модуль упругости равен бесконечности, или один из коэффициентов поперечной деформации равен 0.5 .

  Согласно второй гипотезе

e_х-e_о  =   e_у-e_о =   e_z-e_о =    g_ху =     g_уz   =    g_zx     = y  ,                                         (4)

s_х-s_о     s_у-s_о    s_z-s_о      2t_ху          2t_уz      2t_zx        

где y - некоторая функция напряжений.

В пределах упругости, y-постоянная величина, равная y=1/2G.

Из выражения (4) получаем

e_х-e₀=y(s_х-s₀); g_ху=2yt_ху;

e_у-e₀=y(s_у-s₀); g_yz=2yт_yz ;                                                                          (5)

e_z-e₀=y(s_z-s₀); g_zx=2yt_zx ;

Таким образом , получено условие пропорциональности компонентов девиаторов напряжений и деформаций.

В работе [2] получено следующее соотношение

g₁       g₂       g₃ 

¾ =  ¾  =  ¾  .

t₁       t₂       t₃ 

Таким образом, вторая гипотеза может быть сформулирована  и так: главные деформации прямо пропорциональны главным касательным напряжениям.

    Рассмотрение третьей гипотезы упруго-пластической деформации показывает, что для определения зависимости интенсивности напряжений от интенсивности деформаций можно воспользоваться результатами испытаний на сжатие.

Формулы для интенсивности напряжений и деформаций при одноосном напряженном состоянии были так же получены в [2]

                       s_i=s                                                             (8)

e_i=e-e₀ .                                                                               (9)

Учитывая, что при одноосном растяжении s₀=s/3, и используя соотношения (2) и (1а), получим

e_i=e-(1-2m)s/3Е .                                                                                            (10)

    При помощи формул (8) и (10) можно по диаграмме сжатия материала         подсчитать величины e_i , s_i ,определяющие диаграмму деформирования.