Исследование устойчивости линейных систем автоматического управления

Новосибирский государственный технический университет

Кафедра электропривода и автоматизации промышленных установок

ОТЧЁТ

ПО  ЛАБОРАТОРНОЙ  РАБОТЕ

Дисциплина: «Теория автоматического управления»

Работа № 3

«Исследование устойчивости линейных

систем автоматического управления»

Группа ЭМ-51                   Бригада № 1

Состав бригады:   1. Солнцев А.

                                2. Тарасов В.

                                3. Похомов М.

Работа защищена:_________________________________

Преподаватель: Тюрин Максим Владимирович

2007 г.

1.  ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Используя метод структурного моделирования, исследовать заданную систему автоматического управления на устойчивость. Установить влияние параметров системы на ее устойчивость и определить их граничные (критические) значения.

2. ПРОГРАММА ПОДГОТОВКИ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ

2.1 Одним из алгебраических критериев определить устойчивость заданной САУ и рассчитать граничные значения коэффициента передачи системы kи постоянной времени .

Структурная схема имеет вид:

Значения параметров:

Номер варианта	Численные значения параметров
1		8		2
		7		4
		2		0.1

Проверка САУ на устойчивость по методу Гурвица

1) Передаточная функция САУ в замкнутом состоянии:

где

Формулировка критерия Гурвица:

Для устойчивости САУ необходимо и достаточно, чтобы при  все диагональные миноры определителя Гурвица были положительными.

2) Найдем характеристическое уравнение заданной системы

Приравняем к нулю знаменатель передаточной функции:

Раскроем скобки:

Обозначим коэффициенты уравнения и найдем их значения:

Характеристическое уравнение замкнутой примет вид:

3) Запишем определитель Гурвица:

Условия устойчивости:

Т.к. , то делаем вывод, что заданная система неустойчивая.

4) Определим влияние параметров системы на ее устойчивость.

Рассчитаем граничные значения параметров системы  и :

Для этого запишем условие нахождения заданной САУ на границе устойчивости  

Найдем

Выразим искомое значение:

Найдем

Возьмем в качестве неизвестного параметр  и запишем условие границы устойчивости:

Раскроем скобки и решим получившееся квадратное уравнение

(в лабораторной работе мы использовали  )

Для определения влияния этого параметра на устойчивость заданной САУ необходимо дополнительно исследовать устойчивость системы при уменьшении и увеличении этого параметра относительно его граничных значений.

Проверка САУ на устойчивость по критерию Найквиста

Формулировка критерия устойчивости Найквиста: если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении ω от нуля до ∞, не охватывала точку с координатами (-1; i0).

АФЧХ разомкнутой системы имеет вид:

По виду зависимости можно сказать. Что разомкнутая система неустойчивая, а следовательно и замкнутая тоже.

3. Опытная проверка результатов.

3.1) Для заданной САУ снять график переходной функции и по ее виду определить устойчивость системы.

Структурная схема с заданными параметрами имеет вид (в программе MATCAD):

Переходная характеристика заданной САУ имеет следующий вид:

3.2) Исследование влияния коэффициента передачи на устойчивость системы: определить (опытным путем) граничное значение коэффициента передачи и найти области устойчивости (неустойчивости). Снять графики переходных функций устойчивого и неустойчивого режимов работы и границы устойчивости.

Изменим значение одного из заданных коэффициентов: пусть , тогда  и переходная характеристика будет иметь вид:

Пусть , тогда  и переходная характеристика будет иметь следующий вид:

Подбирая К таким же образом, находим, что  равно 1.15, при этом граничный коэффициент передачи замкнутой системы равен:

При таком коэффициенте передачи замкнутой системы переходная характеристика имеет вид:

Делаем вывод, что САУ находится на границе устойчивости и область устойчивости .

3.3) Выставить на модели заданное значение коэффициента передачи и исследовать влияние постоянной времени  на устойчивость системы: определить граничные значения постоянной времени  и найти области устойчивости (неустойчивости). Снять графики переходных функций устойчивого и неустойчивого режимов работы и границ устойчивости.

При заданном значении постоянной времени  переходная характеристика имеет вид:

Изменяем значение  в большую и в меньшую стороны и снимаем переходные характеристики:

Пусть  равно 0.15, тогда

Система неустойчивая.

Пусть значение  равно 0.055, тогда

система находится на границе устойчивости, следовательно  равно 0.057

Если взять значение Т меньше , то переходная характеристика будет устойчивая, это значит, что область устойчивости . Пусть Т=0.03.

График переходной характеристики при этом будет иметь вид:

Переходная характеристика устойчивая, значит область устойчивости указана верно.

Нужно отметить, что существует еще одна область устойчивости полученная теоретически, она запишется так: .

3.4)Снять частотные характеристики А(ω) и φ(ω) для заданной САУ в разомкнутом состоянии и по ним проверить устойчивость системы по критерию Найквиста. При снятии частотных характеристик в качестве обязательных взять частоты сопряжения звеньев.

Поставим на вход разомкнутой системы источник гармонического сигнала, при этом структурная схема примет вид:

Изменяя частоту источника ω снимаем зависимости А(ω) и φ(ω), данные заносим в таблицу:

Частоты сопряжения звеньев входящих в заданную САУ равны

ω	0.1	0.2	0.25	0.3	0.4	0.5	0.6	1	8	9	10	11	15
А(ω)	103	82	71	61	45	36	27.5	12.3	0.2	0.15	0.13	0.1	0.05
φ(ω)	51	43.6	60	85.7	104.5	100.8	120	42,5	270	25.7	28	44.2	25.1
Твх	60	33	30	21	15.5	12.5	10.5	22	0.8	0.7	0.63	0.57	0.43
Твых	68.5	37	25	26	20	16	14	24.6	1.4	0.75	0.6	0.5	0.4
tр	8.5	4	5	5.3	4.5	3.5	3.5	2.6	0.6	0.05	0.05	0.07	0.03

Поданным таблицы в программе MATLAB строим графики.