Плоский изгиб прямых стержней

Плоский изгиб прямых стержней

Изгибом называется деформация стержня, сопровождающаяся изменением кривизны его оси. Стержень, работающий на изгиб, называется балкой.

В зависимости от способов приложения нагрузки и способов закрепления стержня могут возникать различные виды изгиба.

Если под действием нагрузки в поперечном сечении стержня возникает только изгибающий момент, то изгиб называют чистым.

Если в поперечных сечениях наряду с изгибающими моментами возникают и поперечные силы, то изгиб называют поперечным.

Если внешние силы лежат в плоскости, проходящей через одну из главных центральных осей поперечного сечения стержня, изгиб называется простым или плоским. В этом случае нагрузка и деформируемая ось лежат в одной плоскости (рис. 1).

Рис. 1

Чтобы балка могла воспринимать нагрузку в плоскости, она должна быть закреплена с помощью опор: шарнирно-подвижной, шарнирно-неподвижной, заделкой.

Балка должна быть геометрически неизменяемой, при этом наименьшее количество связей равно 3. Пример геометрически изменяемой системы приведен на рис.2а. Пример геометрически неизменяемых систем – рис. 2б, в.

                  а)                                    б)                  в)

рис. 2

В опорах возникают реакции, которые определяются из условий равновесия статики. Реакции в опорах являются внешними нагрузками.

Внутренние усилия при изгибе

Стержень, нагруженный силами перпендикулярными продольной оси балки, испытывает плоский изгиб (рис. 3). В поперечных сечениях возникают два внутренних усилия: поперечная сила Q_y   и изгибающий момент М_z.

 

Рис. 3

Определение реакций выполняется из условий равновесия:

из условия ∑x = 0 находится H_A = 0;

из условий ∑M_A = 0, ∑M_B = 0   определяются R_BиR_A .

Проверка реакций в опорных стержнях вычисляется из условия ∑y = 0. Внешними нагрузками являются R_A, R_B, P₁, P₂.

Внутренние усилия определяются методом сечений. На расстоянии x от   точки А плоскостью перпендикулярной оси X стержень рассекается на два участка. Отбрасывается одна из частей балки. Взаимодействие частей балки заменяется внутренними усилиями: изгибающим моментом M_zи поперечной силой Q_y(рис. 4).

Рис. 4

Внутренние усилия M_z и Q_y в сечение определяются из условий равновесия.

Составляется уравнение равновесия для части С:

∑y = R_A – P_­1 – Q_y = 0.   

ТогдаQ_y = R_A – P_­1.

Вывод. Поперечная сила в любом сечении балки равна алгебраической сумме всех внешних сил, лежащих по одну сторону от проведённого сечения. Поперечная сила считается положительной, если вращает стержень относительно точки сечения по часовой стрелке.

∑M₀ = R_A  ∙ x – P₁ ∙ (x - a) – M_z = 0

Тогда M_z = R_A ∙ x – P₁ ∙ (x – a)

Вывод. Изгибающий момент в любом сечении балки равен алгебраической сумме моментов односторонних внешних сил относительно центра тяжести проведённого сечения. Изгибающий момент считается положительным, если вызывает деформацию балки изогнутыми волокнами вниз, то есть если растянутые волокна нижние (рис. 5).

Рис. 5

Эпюры внутренних усилий при изгибе

Построить эпюры Q_y; M_zдля балки (рис.6).

Рис. 6

1.  Определение реакций R_A , R_B ;

∑M_A = P ∙ a – R_B ∙ l = 0

R_B =

∑M_B = R_A ∙ e – P ∙ a = 0

R_B =

2.  Построение эпюр на первом участке 0 ≤ x₁ ≤ a

Q_y = R_A = ;   M_z = R_A ∙ x₁ 

  x₁ = 0  M_z(0) = 0

x₁ = a   M_z(a) =

3.  Построение эпюр на втором участке 0 ≤ x₂ ≤ b

Q_y = - R_B = - ;   M_z = R_B ∙ x₂;    x₂ = 0  M_z(0) = 0      x₂ = bM_z(b) =

При построении M_zположительные координаты будут откладываться в сторону растянутых волокон.

Проверка эпюр

1.  На эпюре Q_yразрывы могут быть только в местах приложения внешних сил и величина скачка должна соответствовать их величине.

+  =  = P

2.  На эпюре M_zразрывы возникают в местах приложения сосредоточенных моментов и величина скачка равна их величине.

Дифференциальные зависимости между M, Q и q

Между изгибающим моментом, поперечной силой и интенсивностью распределённой нагрузки установлены зависимости:

q = ,    Q_y =

где q – интенсивность распределённой нагрузки,

Проверка прочности балок при изгибе

Для оценки прочности стержня при изгибе и подбора сечения балки используются условия прочности по нормальным напряжениям.

Изгибающий момент представляет собой равнодействующий момент нормальных  внутренних  сил, распределённых по сечению.

s = ×y, 

где     s – нормальное напряжение в любой точке поперечного сечения,

y– расстояние от центра тяжести сечения до точки,

M_z– изгибающий момент, действующий в сечении,

J_z– осевой момент инерции стержня.

Для обеспечения прочности рассчитываются максимальные напряжения, которые возникают в точках сечения, наиболее удалённых от центра тяжести            y = y_max

s_max = ×y_max,

где

 = W_z   и s_max = .

Тогда условие прочности по нормальным напряжениям имеет вид:

s_max =  ≤ [s],

где [s] – допускаемое напряжение при растяжениях.