Решение нелинейных алгебраических уравнений методами деления отрезка пополам, простой итерации и методом Ньютона

Министерство образования Российской Федерации

Новосибирский Государственный Архитектурно- Строительный

Университет.

(СИБСТРИН).

Кафедра информационных

Систем и технологий.

Лабораторная работа 1.

«Решение нелинейных алгебраических уравнений»

Вариант 19

Выполнил:

Студент 324 группы

 Назаров М.Г.

Проверила:

Руев Г.А.

Новосибирск 2010 г.

Описание методов решения.

1. Метод деления отрезка пополам. Определяем середину отрезка [а,b]: С = (а+b)/2 и проверяем, какому из двух отрезков (а,с) или (с,b) принадлежит искомый корень, т.е. проверяем: f(a)f(c)<0 либо f(c)f(b)<0. Концы нового отрезка, которому принадлежит корень, обозначаем а, bи повторяем процедуру до тех пор, пока не будет достигнуто условие сходимости итерационного процесса: |b-а|<ε. Вычисления оформляются в виде таблицы

а	b	с	f(a)	f(c)	b-a
0
1
. . . .

где а_о , b_o - границы интервала изоляции корня; С_i = (a_i+ b_i)/2,     i= 0,1,2...;

         с_i-1,   если    f(a_i-1)f(с_i-1) > 0;               b_i-1,    если   f(а_i-1)f(с_i-1) > 0;                    a_i=b_i=i= 1,2,3,.

        a_i-1,  в противном    случае с_i-1,    в противном    случае

2. Метод простой итерации. Исходное уравнение приводится к виду, удобному для применения метода простой итерации: х = φ(х), где, например, φ(х) = х - с f(x). Параметр с подбирается    таким образом, чтобы выполнялось достаточное условие сходимости метода:

|φ `(х)|<1для всех хє[а,b].  Начальное приближение x₀= (а + b)/2.  Следующие итерации

находим         по         формуле:         x_k+1=φ(x_k). Часто с берут в виде:

с = 2/ (М + т), где М = mах(f `(х)), т = min(f '(x)). Вычисления оформляются в виде таблицы:

к	X	|Х к-1|
0	х0
1 ….	X1 ….			|x1-х0| ………

Условие окончания итерационного процесса |х_к — x_к-1|<ε

3.   Метод Ньютона. Итерации определяются по формуле

Вычисление оформить в виде таблицы:

к	x	f(x)	f'(x)	|xk —   xk-1|
0 1 …..	х0 x1 ……	f(xo) f(x1) …..	f `(xo) f `(x1) ……	|x1 —   x0| …….

                  a,    если f(a) f ``(a) > 0

где    x₀=
b,     в противном случае

Условие окончания итерационного процесса |x_k-x_k-1|<ε

4.   Метод хорд. Итерации определяются по формулам:

Если f(a) f"(a) > 0, то х₀ =b    х_к+1=a-

Если  f(а)f"(а)<0,    то х_о=а    х_к+1=х_к-

Вычисление оформить в виде таблицы:

к	x	f (x)	| xк-xk-1|
0 1	х0 X,	f(xo)	|x1 - х0|

Условие окончания итерационного процесса |x_k-x_k-1|<ε

метод деления отрезков пополам

i	a	b	c	f(a)	f©	b-a
0	1	2	1,5	-4	-2,375	1
1	1,5	2	1,75	-2,375	-0,95313	0,5
2	1,75	2	1,875	-0,95313	-0,04883	0,25
3	1,875	2	1,9375	-0,04883	0,456787	0,125
4	1,875	1,9375	1,90625	-0,04883	0,199371	0,0625
5	1,875	1,90625	1,890625	-0,04883	0,074131	0,03125
6	1,875	1,890625	1,882813	-0,04883	0,012368	0,015625
7	1,875	1,882813	1,878906	-0,04883	-0,0183	0,007813
8	1,878906	1,882813	1,880859	-0,0183	-0,00298	0,003906
9	1,880859	1,882813	1,881836	-0,00298	0,004687	0,001953
10	1,880859	1,881836	1,881348	-0,00298	0,00085	0,000977

Метод простой итерации                                                                             Метод Ньютона

k	x	|xk-xk-1|
0	1,5
1	1,931818	0,431818
2	1,857402	0,074416
3	1,890968	0,033566
4	1,876994	0,013973
5	1,883042	0,006047
6	1,880465	0,002577
7	1,88157	0,001105
8	1,881098	0,000473

k x f(x) f '(x) |xk-xk-1| 0 2 1 9 1 1,888889 0,060357 7,925926 0,111111 2 1,881274 0,00027 7,855026 0,007615 3 1,881239 5,49E-09 7,854706 3,44E-05

Метод хорд

k	x	f(x)	|xk-xk-1|
0	1	-4
1	1,8	-0,608	0,8
2	1,875622	-0,04398	0,075622
3	1,880861	-0,00297	0,005239
4	1,881214	-0,0002	0,000353