Основные положения теории реляционных баз данных, страница 2

Пусть X, Y - произвольные подмножества- схемы R и domX - область значений (домен) атрибутов из X .

Определение 7. Отношение  r(R) удовлетворяет функциональной зависимости (ФЗ) ,  если  имеет не более чем один кортеж для любого .

Определение 8. Пусть F - множество ФЗ, заданных на атрибу­тах  схемы R .   ФЗ    логически  следует  (выводится)   из   F , если каждое отношение r(R), удовлетворяющее всем зависимостям из F, удовлетворяет также ФЗ .

J

К функциональным зависимостям применим набор правил вывода, с помощью которых на базе некоторой исходной совокупности ФЗ можно вывести другие ФЗ. Об этом свидетельствует следующая теорема.

Теорема 1. Пусть  X, Y, Z, W .  Тогда для любого отношения r(R) справедливы  следующие правила вывода:

F1. (рефлексивность);

F2. Если , то (пополнение);

F3. Если  и ,  то (аддитивность);

F4. Если , то  (проективность);

F5. Если  и , то  ( транзитивность);

F6. Если  и  , то  (пссвдотранзитивность).

Здесь и далее по тексту вместо будем писать XY, опуская операцию объединения множеств.

Определение 9. Множество, содержащее все ФЗ, выводимые из F  с помощью правил вывода   F1-F6, называется замыканием  F   и обозначается .

Очевидно, что  и .

Теорема   2.      тогда   и   только   тогда,   когда .

Определение 10. Пусть F – множество ФЗ, заданных на атрибутах схемы R и X . Замыканием X над R называется множество атрибутов  .

Согласно правилам вывода F1,F2  и .

Теорема   3.   тогда   и   только   тогда,   когда .

Алгоритм построения  для заданных и F приведен в прил.2.

Определение 11. ФЗ называется избыточной в F, если .

Определение 12. Множество ФЗ F называется неизбыточным, если в нем нет избыточных ФЗ.