Нехай – деяке характеристичне число. На мнимій
осі візьмемо довільну точку
й побудуємо вектор
із точки
в точку
(мал. 12). При неперервній зміні
від
до
вектор
повернеться
навколо початку координат на кут
проти годинної стрілки
(якщо
, те по годинній стрілці).
Поклавши в характеристичному рівнянні (3.45) ,
одержуємо:
(3.46)
де ;
,
.
У такий спосіб маємо
функцію комплексної змінної
. Кожному фіксованому значенню
на комплексній площині
відповідає деяка фіксована точка
або радіус-вектор цієї точки
. При неперервній зміні
кінець вектора
опише
на площині
деяку криву
,
називану годографом Михайлова. Параметричні рівняння годографа
мають вигляд:
.
За початок кривої
приймається точка дійсної осі. Накладене на
обмеження
(точка
переміщається в площині уздовж мнимої осі від
до
) дозволить на підставі аналізу
з'ясувати розташування коренів
характеристичного рівняння щодо мнимої осі.
Якщо
всі
мають від’ємні речовинні частини, то при
зміні
від
до
зміна аргументу
кожного
співмножника
в (3.46) буде дорівнює в межі
(радіус-вектор
, що
відповідає
повертається проти годинникової стрілки на
кут
). Отже, зміна аргументу функції
буде в межі дорівнює
(при множенні в
комплексних
чисел
їхні аргументи складаються).
Якщо всі мають додатні дійсні частини, то
зміна аргументу кожного множника
буде в межі дорівнює
. Тоді зміна аргументу
при зміні
від
до
буде
дорівнює
.
Якщо коренів мають додатну речовинну частину, а
– , від’ємну то при зміні
від
до
зміна аргументу
.
Досліджувана система стійка, якщо , тобто
якщо
.
Тому що – парна функція, її графік
симетричний щодо полярної осі, сполученої з віссю
, то
можна обмежитися дослідженням кривої при
. Тоді в
загальному випадку зміна аргументу буде дорівнює
,
для стійкої системи:
.
Звідси випливає Критерій Михайлова:
Для того, щоб всіх корені характеристичного рівняння (3.44) мали
від’ємні дійсні частини, необхідно й досить, щоб при неперервній зміні від
до
вектор
повернувся
проти годинникової стрілки навколо початку координат на кут
, де
–
степінь характеристичного многочлена.
Таким чином, якщо годограф Михайлова при
зміні
від
до
, почавшись у т.
,
пройде всього
квадрантів площини
(у послідовності: перший, другий, третій,
четвертий, перший, другий і т.д.), той досліджуваний рух асимптотичне стійкий.
Звідси
витікає, що незбурений рух буде нестійким у наступних випадках:
1)
якщо число квадрантів площини , пройдених годографом Михайлова, не
дорівнює порядку
системи;
2)
якщо початкова точка годографа лежить не на від’ємній півосі;
3)
якщо порушується послідовність проходження
квадрантів площини ;
4)
якщо на деяких проміжках зміни вектор
обертається
по годинній стрілці:
На мал. 14 зображені криві Михайлова, що відповідають стійким системам різних порядків (а), нестійким системам (б), системам, що перебувають на границі стійкості (в, г).
При практичних дослідженнях критерій Михайлова використовують в
алгебраїчному виді, заміняючи годограф Михайлова двома окремими кривими й
. При
цьому критерій Михайлова формулюється так: для того, щоб всіх корені
характеристичного рівняння (3.44) мали від’ємні дійсні частини, необхідно й
досить, щоб многочлени
й
мали в
сукупності всього
дійсних, від’ємних коренів і щоб
у послідовності цих коренів, записаних у порядку їхнього зростання, за кожним
коренем многочлена
йшов корінь многочлена
, і навпаки.
Приклад 1. Дослідити
стійкість нульового розв’язання диференціального рівняння .
Розв’язання: Записуємо характеристичний многочлен:
.
Заміняємо в
на
:
.
Звідси одержуємо
параметричні рівняння годографа Михайлова :
. Знаходимо точки перетинання кривій
осей координат. Із цією метою знаходимо
корінь многочленів
й
,
розв’язав рівняння:
.
Беремо тільки від’ємні
корені цих рівнянь, тому що будується половина годографа, що відповідає зміні
параметра від
до
. Такими коріннями, розташованими в порядку
зростання, будуть
. Записуємо в таблицю ці корені і
відповідні їм значення
й
.
Таким чином, крива
Михайлова, починається в точці осі
, проходить перший квадрант, входить у
другий у точці
, проходить другий квадрант,
входить у третій у точці
. Знайдемо граничні
значення тангенса кута, утвореного вектором
з віссю
або
:
.
Тоді . Значить годограф Михайлова, не виходячи
із третього квадранта, опускається в нескінченність.
Висновок: годограф Михайлова, почавшись у точці
додатної півосі , послідовно пройшов три
квадранти площини
(у порядку перший, другий,
третій), у результаті чого вектор
повернувся на кут
. Звідси в силу критерію Михайлова робимо
висновок, що всі корені характеристичного рівняння мають від’ємні дійсні
частини, тобто нульове розв’язування досліджуваного рівняння асимптотичне
стійке.
Інший спосіб:
Розв’язання першого рівняння
,
. Розв’язання другого рівняння
,
. Записавши корені многочленів
й
у
порядку зростання
,
бачимо, що за кожним коренем многочлена йде корінь многочлена
й навпаки. Виходить, корені рівняння мають
від’ємні дійсні частини й розв’язання досліджуваного рівняння асимптотичне
стійке.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.