Теорія стійкості. Критерії стійкості, страница 2

Нехай  – деяке характеристичне число. На мнимій осі візьмемо довільну точку  й побудуємо вектор  із точки  в точку  (мал. 12). При неперервній зміні  від  до  вектор  повернеться навколо початку координат на кут  проти годинної стрілки (якщо , те по годинній стрілці).

Поклавши в характеристичному рівнянні (3.45) , одержуємо:

                                (3.46)

де ; , .

У такий спосіб маємо функцію комплексної змінної . Кожному фіксованому значенню  на комплексній площині відповідає деяка фіксована точка  або радіус-вектор цієї точки . При неперервній зміні  кінець вектора  опише на площині  деяку криву , називану годографом Михайлова. Параметричні рівняння годографа  мають вигляд:

.

За початок кривої приймається точка  дійсної осі. Накладене на  обмеження  (точка переміщається в площині уздовж мнимої осі від  до ) дозволить на підставі аналізу  з'ясувати розташування коренів характеристичного рівняння щодо мнимої осі.

Якщо всі  мають від’ємні речовинні частини, то при зміні  від  до  зміна аргументу  кожного співмножника  в (3.46) буде дорівнює в межі  (радіус-вектор , що відповідає  повертається проти годинникової стрілки на кут ). Отже, зміна аргументу функції  буде в межі дорівнює  (при множенні в  комплексних чисел  їхні аргументи складаються).

Якщо всі  мають додатні дійсні частини, то зміна аргументу кожного множника  буде в межі дорівнює . Тоді зміна аргументу  при зміні  від  до  буде дорівнює .

Якщо  коренів мають додатну речовинну частину, а  – , від’ємну то при зміні  від  до  зміна аргументу

.

Досліджувана система стійка, якщо , тобто якщо .

Тому що  – парна функція, її графік симетричний щодо полярної осі, сполученої з віссю , то можна обмежитися дослідженням кривої при . Тоді в загальному випадку зміна аргументу буде дорівнює

,

для стійкої системи:

.

Звідси випливає Критерій Михайлова:

Для того, щоб всіх корені характеристичного рівняння (3.44) мали від’ємні дійсні частини, необхідно й досить, щоб при неперервній зміні  від  до  вектор  повернувся проти годинникової стрілки навколо початку координат на кут , де  – степінь характеристичного многочлена.

Таким чином, якщо годограф Михайлова  при зміні  від  до , почавшись у т. , пройде всього  квадрантів площини  (у послідовності: перший, другий, третій, четвертий, перший, другий і т.д.), той досліджуваний рух асимптотичне стійкий.

Звідси витікає, що незбурений рух буде нестійким у наступних випадках:

1)  якщо число квадрантів площини , пройдених годографом Михайлова, не дорівнює порядку  системи;

2)  якщо початкова точка годографа  лежить не на від’ємній півосі;

3)  якщо порушується послідовність проходження квадрантів площини ;

4)  якщо на деяких проміжках зміни  вектор  обертається по годинній стрілці:

На мал. 14 зображені криві Михайлова, що відповідають стійким системам різних порядків (а), нестійким системам (б), системам, що перебувають на границі стійкості (в, г).

При практичних дослідженнях критерій Михайлова використовують в алгебраїчному виді, заміняючи годограф Михайлова двома окремими кривими  й . При цьому критерій Михайлова формулюється так: для того, щоб всіх корені характеристичного рівняння (3.44) мали від’ємні дійсні частини, необхідно й досить, щоб многочлени  й  мали в сукупності всього  дійсних, від’ємних коренів і щоб у послідовності цих коренів, записаних у порядку їхнього зростання, за кожним коренем многочлена  йшов корінь многочлена , і навпаки.

Приклад 1. Дослідити стійкість нульового розв’язання диференціального рівняння .

Розв’язання: Записуємо характеристичний многочлен:

.

Заміняємо в   на :

.

Звідси одержуємо параметричні рівняння годографа Михайлова : . Знаходимо точки перетинання кривій  осей координат. Із цією метою знаходимо корінь многочленів  й , розв’язав рівняння:

.

Беремо тільки від’ємні корені цих рівнянь, тому що будується половина годографа, що відповідає зміні параметра  від  до . Такими коріннями, розташованими в порядку зростання, будуть . Записуємо в таблицю ці корені і відповідні їм значення  й .

Таким чином, крива Михайлова, починається в точці  осі , проходить перший квадрант, входить у другий у точці , проходить другий квадрант, входить у третій у точці . Знайдемо граничні значення тангенса кута, утвореного вектором  з віссю  або :

.

Тоді . Значить годограф Михайлова, не виходячи із третього квадранта, опускається в нескінченність.

Висновок: годограф Михайлова, почавшись у точці додатної півосі , послідовно пройшов три квадранти площини  (у порядку перший, другий, третій), у результаті чого вектор  повернувся на кут . Звідси в силу критерію Михайлова робимо висновок, що всі корені характеристичного рівняння мають від’ємні дійсні частини, тобто нульове розв’язування досліджуваного рівняння асимптотичне стійке.

Інший спосіб:

Розв’язання першого рівняння   , . Розв’язання другого рівняння   , . Записавши корені многочленів  й  у порядку зростання

,

бачимо, що за кожним коренем многочлена  йде корінь многочлена  й навпаки. Виходить, корені рівняння мають від’ємні дійсні частини й розв’язання досліджуваного рівняння асимптотичне стійке.