Якщо на вході стаціонарний процес, то і на виході —
стаціонарний. Нехай у рівнянні (10.9) , де
— стаціонарний процес з математичним
чеканням
і кореляційною функцією
. Знайти зв'язок між спектральною щільністю
і
.
Насамперед відомі:
;
,
продифференцируем двічі по параметрі ,
припускаючи його рівномірну збіжність.
З іншої сторони .
; (10.10)
(10.11)
Розглянемо лінійний диференціальний оператор виду
(10.12)
Або в більш компактній формі
(10.13)
Потрібно встановити зв'язок між спектральною щільністю
при на виході динамічної системи.
Нехай кореляційна функція процесу задана у виді
.
Очевидно, що є
лінійною й однорідної, те
(10.14)
(10.15)
Якщо ж процес комплексний, то
,
де — комплексно сполучена
перемінна.
Якщо записати через
, (10.16)
де
Для випадку (10.12) ми маємо
.
Допустимо, що така,
що інтеграл
можна диференціювати по
, тоді одержимо
.
Якщо позначити
, (10.17)
, (10.18)
,
, (10.19)
,
(10.20)
Функцію називають частотною
характеристикою оператора.
Самий загальний випадок
,
(10.21)
це формула (10.9) у загальному виді. Те можна показати, що
, (10.22)
що частотна характеристика загального лінійного фільтра.
Приклад. Нехай динамічна система описується рівнянням
,
.
Визначити .
Рішення.
;
;
.
Перетворення стаціонарної випадкової функції лінійними динамічними системами з постійними коефіцієнтами.
Лінійною динамічною системою з постійними коефіцієнтами називається система
, (10.23)
, (10.24)
де — реалізація вхідного
випадкового стаціонарного процесу;
— реалізація процесу на виході системи.
Рівняння (10.23) описує зв'язок між випадковими
функціями на вході і виході системи, а рівняння (10.24) описує зв'язок між
реалізаціями вхідного випадкового процесу і
— реалізації процесу на виході.
Визначення. Передатною функцією лінійної динамічної системи
називається функція комплексного перемінного ,
визначена
. (10.25)
Функція — є відношення
перетвореним по Лапласу вихідного сигналу до вхідного сигналу, обумовлених з
рівняння (10.24) при нульових початкових умовах. Властивості сигналу на виході
цілком визначаються властивостями передатної функції
і
властивостями вхідного сигналу. Говорять, що лінійна динамічна система
задовольняє умові стійкості, якщо
не має полюсів у першій
напівплощині комплексної площини
(
).
Якщо на вхід стійкої лінійної динамічної системи з
постійними коефіцієнтами подається стаціонарний вхідний сигнал, то по події
досить великого часу з моменту початку впливу ( , де
— характерний час релаксації перехідних
процесів) сигнал на виході системи буде близький до стаціонарного в широкому
змісті процесові.
Якщо — вхідний стаціонарний
сигнал з характеристиками
і
, у стаціонарному режимі (
)
(10.26)
(10.27)
Функція називається
амплітудно-частотною характеристикою системи.
(10.28)
Для кінцівки дисперсії необхідно і досить збіжність
невласного інтеграла в (10.27). Достатнім, наприклад, є умова, щоб порядок
оператора диференціального оператора вхідного сигналу у формулі (10.24) був не
вище порядку диференціювання оператора вхідного сигналу ( ).
Приклад.
,
,
Визначити:
а) , стійкість;
б) ,
,
— на
виході.
Рішення.
а) ,
;
— умови
стійкості виконаються.
;
;
;
.
Отже, умова стійкості виконана.
б)
.
Для процесу з ,
.
Знаходимо по формулах (10.25)
.
.
Останній інтеграл знаходимо по відрахуваннях у верхній напівплощині
.
У силу парності маємо в раз
менше дисперсії на вході. Це порозумівається тим, що дана динамічна система
власне кажучи є інтегруючою метою, а операція інтегрування процесу згладжує шум.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.