Метод Ейлера розв'язання лінійних однорідних систем з постійними коефіцієнтами, страница 2

(k = 1,2,…,n), (2...146)

яке й становить відповідну частину загального розв'язання для пари комплексно-сполучених характеристичних чисел кратності .

У випадку простих комплексно-сполучених характеристичних чисел поліноми й вироджуються в постійні коефіцієнти, які виражаються через дві довільні постійні.

Практично побудовані з невизначеними коефіцієнтами шукані частини загального розв'язання, що відповідають парі комплексно-сполучених характеристичних чисел підставляють у вихідну систему рівнянь, скорочують на , а потім дорівнюють коефіцієнти при й лівих і правих частин отриманих рівностей. У результаті одержуємо щодо невідомих коефіцієнтів розв'язань виду (2.146) систему рівнянь із якої всі вони визначаються через коефіцієнтів, що залишаються довільними.

Проілюструємо метод Ейлера розглядом ряду конкретних прикладів.

Приклад 22. Розв’язати систему рівнянь

Розв’язання. Становимо характеристичне рівняння й знаходимо його корінь

– корені дійсні й різні, і їм відповідають два лінійно незалежних власних вектори й координати яких ми й знайдемо. Для цього складаємо відповідні системи (2.138).

Для

Думаючи знаходимо й вектор Тоді розв'язання, що відповідає характеристичному числу , запишеться:

Аналогічно для

Думаючи , знаходимо й Розв'язання, що відповідає , має вигляд:

Тоді загальне розв'язання запишеться:

Тому що шуканий вектор то загальне розв'язання запишеться:

Приклад 23. Розв’язати систему якщо:

Розв’язання. Знаходимо характеристичні числа матриці A:

Найбільший загальний дільник всіх мінорів 2-го порядку тоді мінімальний многочлен матриці A має вигляд (2.46):

тому загальне розв'язання ЛОС має вигляд:

Тому що кожне з доданків останньої суми є розв'язанням ЛОС, то, підставляючи перший доданок, одержуємо систему (2.138) для

Одним з розв'язань цієї системи буде а фундаментальна система розв'язань має вигляд: де

Аналогічно для другого кореня (Ще раз підкреслюємо, що для другого характеристичного числа степінь многочлена теж буде нульова, тому що Тут m₂ – кратність характеристичного числа в мінімальному многочлені):

, і .

Думаючи де й – довільні постійні, одержуємо:

Таким чином, згідно (2.142), одержуємо розв'язання системи:

Зверніть увагу на те, що система функцій:

є фундаментальною системою розв'язань ЛОС. Загальне розв'язання:

Приклад 24. Розв’язати систему

Розв’язання. Складаємо характеристичний многочлен і знаходимо його корінь:

Мінімальний многочлен матриці A має вигляд , тобто збігається з характеристичним многочленом. Тому й що означає, що для координати вектора-стовпця є многочленами нульового степеня (невизначеними постійними), а для характеристичного числа координати вектора-стовпця є многочленами першого степеня. Таким чином, загальне розв'язання у векторному виді має вигляд:

Підставляючи у дану систему, одержуємо систему (2.138) для знаходження координат вектора

Тому що характеристичне число кратності 1, то в розв'язуваній системі одна довільна постійна. Думаючи , одержуємо й й

Для знаходження (i = 1,2,3) підставляємо у дану систему, обчисливши попередньо . Одержуємо:

звідки, скорочуючи на й перемножуючи матриці в правій частині, одержуємо систему:

Дорівнюючи коефіцієнти при однакових степенях t, одержуємо:

Тому що друге характеристичне число є двократним коренем характеристичного многочлена, те розв'язувана система має дві довільні постійні. Нехай такими будуть й і Тоді