Математика \ Высшая математика

Застосування кратних інтегралів, страница 3

Розв’язання. Спочатку з’ясуємо якими поверхнями обмежене задане тіло . Для цього зведемо рівняння поверхонь до канонічної форми , перейшовши від нерівностей до рівностей. це сфера з центром в.т О(0;0;0) і радіусом 8, а - це весь трьохвимірний простір за вийнятком внутрішніх точок (точок, які лежать всередині сфери) .

Анолггічно це сфера з центром в.т О(0;0;0) і радіусом 14, а - це множина точок, які лежать в середині сфери і на ній. Таким чином нерівність задає сферичне тіло радіусом 14 з вирізаною всередині його сферою радіусом 8.

Нерівність перетворимо в рівність і побачимо, що це конус, а тому нерівність задає множину точок, яка лежить више конуса Анологічно , множина точок , які лежать зовні нижче конуса – площина, – площина . Нерівність – множина точок, які лежать між цими двома площинами .

Наявність виразів х²+у²+z² спорукає нас на перехід до сферичної системи координат:

. Переведемо рівняння границь в нову систему координат.

1. . Це і є границі інтегрування по.

2. . Звідси легко знайти границі інтегрування по :.

3. . Це і будуть границі інтегрування по .

Відповідь. V= куб. одиниць.

П.6. Знайти масу тіла обмеженого поверхнями

з густиною .

Розв’язок.

Тіло є четверта частина циліндра, з вирізним конусом наявність виразу х²+у² спонукає нас на перехід від прямокутної декартової до циліндричної системи координат.

Проекция тіла на площинуХОY буде чверть круга АОВ, а тому . Нижня границя інтегрування по h знаходиться з умови, що , щоб знайти верхню границю інтегрування по h, підставимо формули переходу в рівняння конуса, тобто запишемо його в циліндричній системі координат:

Відповідь. (одиниць маси).

П.7. Обчислити поверхню тіла, яке утвориться приперетині двох циліндрів однакового радіуса R так, що їх вісі співпадають з осями координат.

Розв’язок. Фігура схожа на октаедр (дві чотирикутні піраміди приставлені основами одна до одної), але всі вісім її бокових граней зігнуті в циліндричну поверхню. Проекція поверхні фігури на площину хОу буде квадрат зі стороною 2R і початком координат в точці перетину його діагоналей, які є проекціями бічних ребер фігури. Діагоналі разом з вісями координат розбили D на вісім прямокутних трикутники. Візьмемо один з них, а саме той, який обмежений прямими . На нього проектується вернхня і нижня частина поверхні фігури, з рівнінням . І так на кожен з восьми трикутників проектується верхня й нижня частина поверхні. Тому , де - площа АDB (половина одної із вісьми граней). =