Застосування кратних інтегралів, страница 2

CD:     y=0;=>  0=r× sinj;    r¹ 0  =>  sinj = 0;  j = 0.

AB:    y=x =>r  sinj =r  cosj;   sinj =cosj;   tgj=1 =>j=

AD:   x²+y²=2x =>r²cos²j + r²sin²j = 2r cosj;         r² = 2r cosj; r¹ 0  => r = 2 cos j;

BC:    => r² cos²j + r² sinj = 4r cosj => r = 4 cosj;

Очевидно, що для того, щоб одержати область ABCD промінь з положення  повинен переміститись в положення (рівняння прямої АВ в полярній системі координат). Під час цього переміщення повинне змінюватись від дуги кола  до дуги кола . Це і будуть границі інтегрування для внутрішнього інтеграла.А тому маємо:

Відповідь:

П.2. Знайти об`єм тіла, обмеженого параболоїдом 2аz = x²+y²    і 

сферою x²+y²+z² = 3a²

Розв’язок. Об’єм тіла будемо обчислювати через подвійний інтегрл. Зобразимо фігуру на рисунку (рис.6.2). Тіло, об`єм якого ми шукаємо, зверху обмежене сферою BDCA а знизу параболоїдом BDCO, тому застосуємо (6.2).. Поверхні тіл перетинаються по колу BDC, яке лежить на площині паралельній площині XOY і віддаленій  від неї на віддаль OP.                                                        Рис.6.2.

Знайдемо рівняння проекції цього кола B¢D¢C¢ на площину XOY. Для цього нам треба знайти радіус кола. Найлегше це можна зробити так: знаходимо координати точки С, розв`язуючи систему  при х=0, так як С(0; y_o; z_o);  =>  2az + z² = 3a² ; z² + 2az – 3a² = 0;  z₁ = -3a;     z₂ = a;

Із двох коренів підходить лише z₂ = a; З рівняння 2az = x²+y² при x = 0, y = a, знаходимо

. Таким чином С(0;a; );    C¢ (0; a; 0) рівняння кола B¢D¢C¢   буде x²+y²=a².

Очевидно, що  Де D– область, обмежена колом x²+y²=a²; z₁ – функція рівняння сфери; z₂ – функція рівняння параболоїда. Очевидно, що

 z₂ = . Знайдемо в явному виді z₁ з рівняння  x²+y²+z² = 3a² => z = 3a² - x² - y²;

 так як у нас z > 0, то . Наявність виразуx² +  y² і круговий вид області D спонукають нас до заміни прямокутної системи координат на полярну. В зв`язку з симетричністю фігури знайдемо її об`єм лише для , а у відповіді запишемо результат в чотирі рази більший.

 =

.         Відповідь:  .

П.3. Обчислити площу поверхні частини сфери x² + y² + z² =a²  , вирізаної циліндром      x² + y² =ax,

Розв`язок. Застосуємо формулу (6.1а). Для того, щоб зобразити фігуру і визначити область інтегрування, перетворимо рівняння циліндра  x²-ax+y²=0, виділивши повний квадрат. 

 .Тепер очевидно, що цей циліндр дотикається до осі OZйого вісь паралельна цій осі  і проходить через точку С(; 0; 0). Проекція вирізаних циліндром частин сфери (їх буде дві рис.6.3) на площину хОу матиме вид круга,

                                             Рис. 6.3.                                              рівняння кола якого співпадає з рівнянням напрямної циліндра, а сам круг зображено на рис.6.4. Це і буде область інтегрування D. Верхня частина сфери в явному виді матиме рівняння . Похідні будуть . Підставимо ці значення в (6.1а)

  (*). Так, як область круг і підінтегральний вираз містить , то доцільно перейти до полярноїсистеми координат.. Так, як коло лежить в півплощині , дотикаючись до вісі у, то, розвязуючи нерівність  при ,

                  Рис.6.4.                  одержимо  . Границі для  дістанемо перетворюючи нерівність, яка виражає круг, в полярну систему:   так, як  не може бути відємним то з цієї нерівності одержуємо  тобто границі для  будуть: . Підставимо в (*).

=

 

Відповідь.  (одиниць кв.)

П.4. Знайти масу квадратної пластинки, сторона якої дорівнює 2а, а поверхнева густина    в кожній точці пропорційна  квадрату її віддалі від точки перетику діагоналей і в вершинах кутів дорівнює 1.

Розв`язок. Використаємо формулу (6.3) для знаходження маси    

Пластинку в системі декартових координат розмістимо так, щоб початок системи координат знаходився в точці перетину діагоналей  (рис.6.5.),                                      Рис.6.5.

а сторони були паралельні осям координат. Завдяки цьому будуть простими межі інтегрування. Область D – це квадрат ABCD. Візьмемо довільну точку N(x;y).  ON²=x²+y²; тому m(x;y)=g(x²+y²), де g - коефіцієнт пропорційності, який ми обчислимо з того, що в т. С(а; a)  m =1 (згідно умови). 1=g(a²+a²), => g =. Підставимо це в формулу обчислення мас і враховуючи симетрію пластинки одержимо:

.

Відповідь:

П.5 Обчислити об’єм тіла заданого нерівностями : ;   ;      .