Диференціальні рівняння. Задача Коші. Теорема існування та одиничності для диференційних рівнянь 1-го порядку. Основні типи диференціальних рівнянь 1-го порядку що інтегруються в квадратурах

Лекція 1

План:

1.  Основні поняття.

2.  Задача Коші. Теорема існування та одиничності для диференційних рівнянь 1-го порядку.

3.  Основні типи диференціальних рівнянь 1-го порядку що інтегруються в квадратурах.

3.1.  рівняння із розділюючимися перемінним;

3.2.  однорідні диференціальні рівняння.

1. Основні поняття.

 Диференціальним рівнянням називається рівняння, що зв'язує незалежну перемінну, невідому функцію і її похідні:

.                         (1)

Вирішити диференціальне рівняння, означає знайти невідому функцію, при підстановці якої в рівняння, вона звертає його в тотожність.

Наприклад: дане диференціальне рівняння

.                                         (2)

Показати, що його рішенням є функції:

.

а) підставимо  в рівняння, знайшовши для цього  і .

.

б) ,  і .

.

в) .

, .

.

Порядком рівняння називається порядок вищої похідної, що входить у рівняння.

Наприклад, рівняння  – рівняння 3-го порядку.

Рішення диференціального рівняння, що містить стільки довільних постійних, який порядок рівняння, називається загальним рішенням.

 – загальне рішення рівняння (2).

На практиці для визначення довільних постійних задаються початкові умови:

для рівняння 1-го порядку – при ,

або ;

для рівняння 2-го порядку – при ,

або .

Диференціальні рівняння, що містять невідому функцію від однієї перемінної, називають звичайними.

2. Задача Коші. Теорема існування та одиничності для диференціальних рівнянь 1-го порядку.

Диференціальне рівняння першого порядку має вигляд

                                      (3)

або розв'язане відносно :

                                       (4)

Теорема про існування й одиничність рішення диференціального рівняння першого порядку (теорема Коші) (без доказу)

Якщо в рівнянні (4) функція  і її похідна  по у безперервні в деякій області D на площині ХОY, що містить деяку крапку , то існує єдине рішення цього рівняння , що задовольняє умові: при .

Геометричний зміст теореми полягає в тому, що існує функція, і причому єдина, , графік якої проходить через крапку . Умова, що при  функція у повинна дорівнювати заданому числу у₀, називається початковою умовою.

Визначення 1. Загальним рішенням диференціального рівняння першого порядку називається функція , що залежить від однієї довільної постійної С и задовольняюча рівнянню.

Причому, якщо при рішенні рівняння (2) отримане співвідношення виду

,

не розв'язане відносно у, то говорять, що отримано загальний інтеграл диференціального рівняння.

Визначення 2. Приватним рішенням називається будь-яка функція , що виходить із загального рішення , якщо довільному постійному С додати визначене значення С=С₀.

Геометрично загальний інтеграл являє собою безліч кривих (інтегральних кривих), що залежать від довільної постійної С.

Приватному інтегралові відповідає одна крива, що проходить через задану крапку.

3. Основні типи диференціальних рівнянь 1-го порядку що інтегруються в квадратурах: із розділюючимися перемінними, однорідні диференціальні рівняння

3.1. Рівняння  із розділюючимися перемінними

Рівняння виду  називається рівнянням із розділюючимися перемінними, якщо функції  і  є добутками функцій залежних від однієї змінної, тобто

                     (5)

і розділимо обидві частини останньої рівності на :

.

Одержимо рівняння з розділеними перемінними; взявши інтеграл від лівої і правої частин рівняння (7), одержимо загальне рішення рівняння (5):

 – загальне рішення.

Наприклад: вирішити рівняння  – рівняння з розділюючимися перемінними.

Перепишемо рівняння:

.

Щоб розділити перемінні, розділимо на добуток ху обидві частини останньої рівності

і візьмемо інтеграл від лівої і правої частин:

,

,

 – одержимо загальний інтеграл вихідного рівняння (рішення отримане в неявному виді).

3.2. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку

Визначення 1. Функція  називається однорідною функцією n-го виміру щодо перемінних х та у, якщо при будь-якому λ виконується умова:

.

Наприклад, функція  – однорідна функція 2-го виміру. Функція  – однорідна функція 0-го виміру.

Визначення 2. Диференціальне рівняння першого порядку

                                       (6)

називається однорідним відносно х та у, якщо функція  є однорідна функція нульового виміру відносно х та у.

Рішення однорідного рівняння

За умовою функція  – нульового виміру, тобто . Поклавши в цій тотожності , одержимо:

,

тобто однорідна функція залежить тільки від відношення . Рівняння (6) приймає вид:

.                                        (7)

Уведемо підстановку: , у=хz, тоді  або .

Підставляючи у і у' у рівняння (7), одержимо рівняння з розділюючимися перемінними:

.

Розділимо перемінні:

.

Інтегруючи, знайдемо:

.

Підставляючи після інтегрування замість z відношення , одержимо загальний інтеграл рівняння (7).

Наприклад: вирішити рівняння .

Перепишемо рівняння у виді: . Праворуч стоїть функція  – нульового виміру. Дане рівняння є однорідним першого порядку. Робимо заміну: , у=хz, , рівняння переписується

,

.

Інтегруючи, одержимо:

,

перепишемо:

.

Віднімемо 1 і додамо 1 у чисельнику і почленно розділимо:

   або   ,

,

,

підставляючи , запишемо загальний інтеграл рівняння:

,

,         .

Зауваження: Рівняння виду  називається однорідним, якщо функції  і  є однорідними функціями того самого виміру.

Наприклад, рівняння:

,

,

є однорідними рівняннями.