Визначення математичного чекання і кореляційної функції випадкової функції

Лабораторне заняття № 1

Задача 1. Визначити математичне чекання і кореляційну функцію випадкової функції

де a(t) і b(t) — задані (числові) функції,  — диференційована випадкова функція, a (t) і  відомі.

Рішення. Функція  є результатом застосування лінійного оператора  до випадкової функції . Тому шуканий результат може бути отриманий шляхом застосування загальних формул. Однак рішення простіше знайти шляхом безпосереднього обчислення (t) і . Маємо

Задача 2. Визначити кореляційну функцію , якщо

,

де  — задані числа, а речовинні випадкові величини  і , взаємно не кореліровані, мають нульові математичні чекання і дисперсії, обумовлені рівностями

  (j=1,2,…,k)...

Рішення. Тому що , те по визначенню кореляційної функції

.

Розкриваючи дужки і застосовуючи теорему про математичне чекання, зауважуємо, що всі доданки, що містять множники виду  при j≠ l і  при будь-яких j і l дорівнюють нулеві, а . Тому

Задача 3. ВВ є часткою случаємо такої випадкової функції, у якого відсутня залежність від часу  й описується показовим законом розподілу, з =2    (  ). Знайти:

Рішення.Відсутність перемінної  вказує на те, що усі імовірностні характеристики не будуть від неї залежати.

=( інтегруючи вроздріб, маємо )= ;

аналогічно для дисперсії .

.

Звідси легко бачити, що

Задача 4. Двовимірний закон розподілу випадкової величини ( надалі ВВ  )  записується щільністю:

Знайти усі імовірностні характеристики.

Рішення. Знайдемо одномірну щільність розподілу:

= розділяючи перемінні і виносячи константи за знак інтеграла маємо = = = =

= .

Ця щільність описує нормальний розподіл з параметрами

У даному випадку дисперсію не можна обчислювати як , тому що випадковий процес є некорелірованим,т.е

=