Визначення випадкового процесу. Приклади. Класифікація процесів. Аналіз тимчасових рядів. Критерії випадковості. Поворотні крапки

Лекція 1

План:

1. Визначення випадкового процесу. Приклади.

2. Класифікація процесів.

3. Аналіз тимчасових рядів.

4. Критерії випадковості.

5. Поворотні крапки.

1.  Визначення випадкового процесу. Приклади.

При створенні самих різних явищ дійсності ми зіштовхуємося з процесами, пророчити плин яких заздалегідь не можемо, тобто з випадковими (стохастическими) процесами.

Завжди, коли мова йде про що-небудь випадковому, мається на увазі визначене вероятностное простір.

З курсу теорії імовірностей відомо, що вероятностное простір – це трійка об'єктів , де  - безліч елементарних подій,  - сукупність підмножин , що утворять  -алгебру,  - міра на , називана імовірністю безлічі . Також, ми вже знайомі з поняттям випадкової величини. Випадкова величина (дійсна) – це функція , задана на просторі елементарних подій і приймаюча в результаті те або інше значення, невідоме заздалегідь.

Визначення. Нехай  — безліч елементарних подій і  — безперервний параметр. Випадковою функцією називається функція двох аргументів

,

яка в результаті досвіду може приймати той або інший конкретний вид, невідомий заздалегідь.

Якщо  інтерпретувати як час , то говорять про випадковий процес. Якщо  — багатомірний простір, то говорять про випадкове поле. Якщо  — дискретна безліч, то випадкова послідовність або часовий ряд.

Конкретний вид, прийнятий випадковою функцією в результаті називається реалізацією випадкової функції (або вибіркової функції). Конкретний вид випадкова функція приймає для кожного фіксованого аргументу (тобто для кожної елементарної події) і в цьому випадку ми маємо справу попросту зі звичайної детерминированной (невипадкової) функцією одного аргументу .

Якщо ж зафіксувати параметр  функція  є функцією тільки  і, отже, являє собою випадкову величину.

Якщо перевести «перетин» сімейства реалізацій при даному , ми одержимо  значень, прийнятих випадкової завбільшки   досвідах (див. мал. 1).

Отже, випадковий процес можна розглядати або як сукупність випадкових величин , що залежать від параметра , або як сукупність реалізацій процесу .

Природно, що для визначеного процесу необхідно задати вероятностную міру у функціональному просторі його реалізацій.

Відповідно до принципів теорії імовірності кінцева послідовність випадкових величин ,  цілком характеризується їхньою спільною функцією розподілу.

При переході до теорії вероятностного опису випадкової функції виникає питання, як описати взаємні зв'язки нескінченного числа випадкових величин — значень випадкових функцій.

Найпростіше вважати випадкову функцію заданої, якщо визначені всілякі теоретико-вероятностные співвідношення між будь-яким кінцевим набором значень випадкових величин.

;  ;            (1.1)

З цього погляду випадкова функція  визначається сімейством розподілу

                            (1.2)

і будь-якою функцією розподілу послідовності випадкових величин.

Зрозуміло, щоб така інтерпретація була можливої, сімейство (1.2) не може бути довільним. Воно повиннео задовольняти наступним очевидним умовам погодженості.

        (1.3)

                (1.4)

 — будь-яке трактування

Приклад. Число відмовлень елементів ЕОМ залежить від часу  (системи масового обслуговування). Можна говорити про число відмовлень елементів не тільки для ЕОМ, а також для будь-якої системи масового обслуговування, АТС і т.д.

Приклад. Якщо простежити за рух молекул газу або рідини, то її стан піддається випадковим змінам у кожен момент часу.

Приклад. Кількість часток, що вилітають з радіоактивної речовини, залежить від часу розпаду.

Приклад. При передачі сигналу по радіоканалі в прийомний пристрій разом з корисним сигналом надходять також різні перешкоди, що є випадковими функціями разом.

Приклад. Температура повітря в різних крапках атмосфери можна розглядати як функцію від перемінних

Приклад. , (часу  «Герб»

відповідає , «цифра» — . Закон  складається з послідовності нулів і одиниць.

Приклад. Нехай дана , де  — безперервна випадкова величина.

Нехай у першому іспиті в силу случаючи , а в другому , тоді  і  — реалізації випадкового процесу.

Якщо ж зафіксувати , наприклад, з, то одержимо перетин випадкового процесу , для з одержимо  — другий перетин.

2.  Класифікація процесів

Перейдемо до класифікації процесів. Перша ознака, по якому здійснюється класифікація стосується . Якщо  або , будемо говорити про випадкову послідовність, або процес з дискретним часом. Друга ознака — фазовий простір. Так, розрізняються действительнозначные, комплекснозначные, векторнозначные процеси. Вони будуть розглянуті пізніше. Але головна ознака, по якому класифікують процеси — це властивості конечномерных розподілів.

1. Процеси з незалежними збільшеннями. Процес ,  називається процесом з незалежними збільшеннями, якщо для  величини

є незалежними випадковими величинами. При цьому спільний розподіл цих разностей не залежить від .

Для визначення канонічних розкладань процесу з незалежними збільшеннями досить знати одномірні розподіли процесу, а також розподіл збільшення процесу, що визначається двовимірним розподілом.

2. Стаціонарні випадкові процеси.

Визначення. Випадковий процес  називається стаціонарним, якщо спільна функція розподілу випадкового вектора  не залежить від , а залежить тільки від , тобто всі перетини  однаково розподілені.

Численні процеси в природі мають тенденцію стає стаціонарними.

3. Гаусовські процеси. Випадковий процес  називається гауссовским, якщо послідовність  має спільний нормальний розподіл.

4. Марковські процеси. Випадковий процес  називається марковским, якщо усі вероятностные характеристики процесу в майбутньому залежать лише від того, у якому стані цей процес знаходиться в даний момент часу, і не залежить від того, яким образом цей процес протікав у минулому ("майбутнє залежить від минулого тільки через сьогодення").

Ці й інші класи випадкових процесів докладніше будуть розглянуті пізніше.

3.  Аналіз тимчасових рядів

У прикладних питаннях статистики випадкових процесів важливе місце займають тимчасові ряди. Характерна риса тимчасових рядів на відміну від інших статистичних об'єктів полягає в тім, що спостереження виробляються послідовно в часі, при цьому спостереження залежні і характер цієї залежності цікавий сам по собі. Сукупність існуючих методів аналізу таких рядів залежних спостережень називається аналізом тимчасових рядів.