Механика системы микрочастиц

ЛЕКЦИЯ 13

9. Механика системы микрочастиц

9.1.Волновая функция системы микрочастиц

Квантовая механика системы микрочастиц строится путем обобщения основных понятий и законов механики одной частицы. Состояние системы описывается волновой функцией:

Ψ = Ψ(х₁, х₂,…, х_N , t),

где х_i совокупность трех координат точки пространства, в которой может оказаться i – тая микрочастица.

Вероятность того, что частица     находится в элементе объема  около точки с координатами х₁, у₁, z₁ и одновременно с этим частица в элементе объема  около точки с координатами  определяется  формулой:

.

Таким образом, речь идет о конфигурации системы, т.е. того или иного расположения частиц в заданный момент времени.

Следует помнить, что координаты x_i, y_i, z_i не есть координаты   i – той частицы – это координаты любой точки пространства, но относятся они к описанию i – той частицы, к нахождению ее места в общей конфигурации системы.

Обычный вид имеет условие нормировки:

.

Этот интеграл 3N кратный.

В механике системы частиц используют операторы, относящиеся к отдельным частицам, например, оператор координаты , оператор импульса  и другие. Такие операторы можно назвать одночастичными. При умножении на волновую функцию каждый одночастичный оператор действует только как оператор своей частицы. Поэтому операторы, относящиеся к разным частицам, коммутируют между собой.

Операторы величин, характеризующих систему в целом, найдем по принципу соответствия с классической механикой.

Оператор импульса системы имеет вид: .

Оператор момента импульса системы определяется как сумма .

Оператор Гамильтона для системы взаимодействующих частиц, находящихся во внешнем поле,

.

Первое слагаемое есть кинетическая энергия частиц, второе – потенциальная энергия их во внешнем поле, третье – потенциальная энергия их взаимодействия друг с другом.

Уравнение Шредингера для системы имеет тот же вид, что и для одной частицы:

.

На систему микрочастиц распространяются все постулаты, записанные для одной частицы (стационарные состояния, законы сохранения физических величин, допустимые значения физических величин, вероятности отдельных значений, принцип суперпозиций и правило вычисления средних).

В системе необходимо учитывать спин частиц. Используются операторы спина отдельных  частиц  и вводится оператор спина системы:

.

Если частицы в системе не взаимодействуют, то оператор Гамильтона для системы имеет вид:

,

где .

Операторы  можно назвать одночастичными операторами Гамильтона.

Внешние поля предполагаются стационарными, поэтому энергия системы сохраняется. Ее волновая функция равна произведению координатного и временного множителей: