Поверхностные интегралы. Поверхностные интегралы первого и второго рода. Векторный анализ. Теорема Остроградского. Теорема Стокса

         Пример 3.3. Вычислить работу векторного поля

a = 2x²yi – xy²j

от начала координат O до точки A(1;1), если движение происходит вдоль: а) отрезка прямой [OA]; б) дуги параболы ; в) ломаной OBA, где B(1;0) (см. рис. 3.1).

         Решение. а) Уравнение прямой OA имеет вид y=x. Пусть x=t, тогда уравнение прямой в параметрическом виде примет вид:

x=t,   y=t,

причем при движении от A до B параметр t будет меняться от 0 до 1. Тогда совершенная работа будет равна

.

б) Пусть x=t², y=t, тогда

x=t²,   y=t,   0£t£1.

Далее получаем

.

в) Уравнение прямой (OB) имеет вид y=0 (0£x£1); уравнение прямой (BA) имеет вид x=1 (0£y£1). Тогда

,     .

В результате, получаем,

.

         Замечание. Если в случае двухмерных полей уравнение линии описывается уравнением y=y(x), а переменная x изменяется от a до b, то криволинейный интеграл 2-го будет вычисляться по формуле:

.                             (3.9)

Предыдущий пример можно было бы решить и при помощи этой формулы, не вводя параметр t.

         Пример 3.4. Вычислить интеграл

,

где L – дуга параболы y=x²+1 от точки A(0;1) до точки B(2;5).

         Решение. Сделаем чертеж (см. рис.3.2). Из уравнения параболы получаем y'=2x. Поскольку на дуге параболы AB переменная x изменяется от 0 до 2, то криволинейный интеграл, в соответствии с формулой (3.9), примет вид

4. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

4.1. Поверхностные интегралы первого рода

         Поверхностный интеграл 1-го рода является обобщением двойного интеграла и вводится аналогичным образом. Рассмотрим некоторую поверхность S, гладкую или кусочно-гладкую, и предположим, что функция f(x,y,z) определена и ограничена на этой поверхности. Разобьем эту поверхность на n произвольных частей. Площадь каждого участка обозначим через Ds_i. На каждом участке выберем какую-либо точку с координатами (x_i,y_i,z_i) и вычислим значение функции в каждой такой точке. После этого составим интегральную сумму:

.

Если существует предел интегральных сумм при n®¥ (при этом max Ds_i®0 ), т.е. такой предел не зависит ни от способа разбиения, ни от выбора средних точек, то такой предел называется поверхностным интегралом первого рода:

.                     (4.1)

Если функция f(x,y,z) непрерывна на поверхности S, то предел (4.1) существует.

         Если подынтегральная функция f(x,y,z)º1, то поверхностный интеграл 1-го рода равен площади поверхности S:

.                                             (4.2)

         Допустим, что введена декартова система координат, и любая прямая, параллельная оси Oz, может пересекать поверхность S лишь в одной точке. Тогда уравнение поверхности S можно записать в виде

z = z(x,y)

и она однозначно проецируется на плоскость xOy. В результате поверхностный интеграл 1-го рода можно выразить через двойной интеграл

.       (4.3)

         Пример 4.1. Вычислить интеграл

,

где S – часть конической поверхности z²=x²+y², 0£z£1.

         Решение. Имеем

.

Тогда искомый интеграл преобразуется в двойной интеграл

где S_xy – круг x²+y²£1. Поэтому

.

4.2. Поверхностные интегралы второго рода

Пусть в некоторой области задано векторное поле

a = a_xi + a_yj + a_zk

и какая-либо двухсторонняя поверхность S. Разобьем поверхность каким-либо способом на элементарные площадки DS_i. На каждой площадке выберем произвольную точку P_i и составим интегральную сумму:

,                                   (4.4)

где n(P_i) – вектор нормали к заданной поверхности в точке P_i. Если существует предел такой суммы при DS_i®0, то этот предел называется поверхностным интегралом 2-го рода (или потоком векторного поля a через поверхность S) и обозначается символом

      или      ,

где ds=nds.

         Поскольку единичный вектор нормали имеет своими координатами направляющиеся косинусы n={cosa, cosb, cosg}. то

.             (4.4)

Таким образом, вычисление поверхностных интегралов 2-го рода можно свести к вычислению поверхностных интегралов 1-го рода. Однако, что в отличие от поверхностных интегралов 1-го рода интегралы 2-го рода зависят от выбора стороны поверхности. Переход к другой стороне поверхности меняет направление нормали к поверхности, а соответственно и знак интеграла.

         Рассмотрим интеграл

.

Пусть уравнение поверхности имеет вид z=j(x,y) и положительной стороной этой поверхности будем считать ту, нормаль которой образует с осью Oz острый угол. Тогда

cosgds = dxdy.

Поэтому рассматриваемый интеграл можно записать в виде

.

Заменяя z на j(x,y), придем к двойному интегралу

,

где S_xy – проекция поверхности S на плоскость xOy.