Кинематика материальной точки. Кинематическое уравнение движения материальной точки по прямой

1.  Формулировка задания.

Кинематическое уравнение движения материальной точки по прямой (ось x) имеет вид,  

Найти:

1. Путь, пройденный материальной точкой за интервал времени от t₁=2.2с до t₂=10с.

2. Среднюю путевую скорость V за тот же интервал времени.

3. Среднее значение ускорения.

4.  Координату материальной точки  в момент времени t₁ и t₂

Построить графики зависимостей величин V(t), а(t) при изменении времени.

2  Краткое теоретическое содержание.

Основные определения

Исходное уравнение – х=f(t)=7+3t-0,02t³ – уравнение зависимости координаты от времени. Данное уравнение является уравнением прямолинейного движения, т.к. изменяется только одна координата.

Материальная точка – тело, размерами которого можно пренебречь по сравнению с расстоянием до других тел.

Путь (S) – расстояние по траектории (от начала движения до данной точки). [S]=м

Скорость () – векторная величина, которая определяет как быстроту движения, так и его направление в данный момент времени. Скорость – это первая производная радиус-вектора по времени. [V]=м/с

Среднепутевая скорость () – физическая величина, которая определяется отношением пути, пройденного точкой, к промежутку времени.

Ускорение () – векторная физическая величина, определяющая быстроту изменения скорости по модулю и направлению. Ускорение – это вторая производная радиус-вектора по времени, или первая производная скорости по времени. [a]=м/с²

Среднее ускорение (а_ср) - физическая величина, которая равна отношению изменения скорости к интервалу времени.

Равнозамедленное прямолинейное движение – движение, при котором скорость материальной точки за равные промежутки времени изменяется на одну и тужу величину, причём направления вектора скорости и ускорения противоположны.)

Основные формулы, применяемые в работе.

1.  Путь, пройденный материальной точкой за интервал времени от t₁до t_2:

Для определения пути разобьем  его на два, т.к. при изменении знака проекции скорости, точка изменяет направление движения и начинает двигаться в обратном направлении:

S=S₁+S₂;

  где  S₁- путь, пройденный материальной точкой за время t _max-t ₁;

S₂ - путь, пройденный материальной точкой за время t ₂-t _max;

   t _max– время в момент возврата материальной точки (когда точка начинает двигаться в обратном направлении: путь возрастает, а координата материальной точки убывает).

Чтобы найти формулы вычисления S₁ и S₂, схематично изобразим данное движение:

 

Рисунок 1.

Из данного рисунка видно, что путь равен приращению координаты:

S₁=x_max-x₁;

S₂=x_max-x₂;

   где  x₁,x₂ – координаты точки в моменты времени t ₁  и t ₂ соответственно;

x_max – максимальная координата, которую материальная точка достигает в момент, когда начинает двигаться обратно (скорость меняет знак).

 

2.  t _max определяется приравниванием к нулю первой производной от координаты по времени, т.к. по свойству максимума в точке, в которой функция х=f(t) максимальное значение, первая производная этой функции равна нулю. Т.к. при данном движении все переменные изменяются только по координате Х, то приращение (дифиренцал)  радиус-вектора равно приращению (дифиренцалу) координаты ():

3.  Средняя путевая скорость V_ср за тот же интервал времени (в соответствии с определением):

4.  Среднее значение ускорения (в соответствии с определением):

Т.к. скорость равна отношению приращения радиус вектора к интервалу времени, за которое это приращение произошло, то можно записать данную формулу следующим образом:

3  Решение:

Данное кинематическое уравнение движения материальной точки  соответствует равнопеременному движению.

3.1.  Координаты материальной точки в моменты времени t ₁ и t ₂ определяются подстановкой соответствующих значений моментов времени:

3.2.  Для определения момента возврата найдём первую производную от координаты по времени.

  

   Чтобы определить момент возврата приравняем полученное выражение к нулю.

3.3.  Время в момент возврата материальной точки:

3.4.  Максимальная координата

Подставив, значение момента возврата материальной точки в уравнение координаты определим:

3.5.  Путь, пройденный материальной точкой за интервал времени от t₁до t_2:

S=2* x_max-x₂- x_1.

<S>=2*18.5-13.3-7=16.8м

3.6.  Средняя путевая скорость V_ср за тот же интервал:

3.7.  Среднее значение ускорения:

3.8.  Графики зависимостей величин V(t), а(t):

Уравнение зависимости скорости от времени уже найден в пункте 3.2 (). Он представляет собой  ветвь перевернутой параболы

График зависимости скорости от времени.

 

Потому что  точка меняет  направление движения в момент времени t=5,77 с., график зависимости скорости от времени пересекает ось Х.