Опис змінних та функцій програми, математичний розв’язок

2. Опис змінних та функцій програми,математичний розв’язок.

2.1 Опис змінних та функцій програми.

1)  xi, yi- координати і-ої точки на дузі;

2)  sxi, syi- сума координат;

3)  Xc,Yc- координати центра ваги;

4)  t-параметр, що відповідає φ в (12)-(13);

5)  dt-крок зміни t;

6)  n- кількість кроків (точок розбиття).

Решта змінних є службовими, і використовуються для проміжних розрахунків, полегшення написання програми, тощо. Наприклад, змінні х0 і у0 мають відповідні значення координат початку координат на екрані, і при бажанні можуть бути змінені.

7)  grafic_Х – функція, що рисує графік залежності центра ваги від координат;

8)  titul - функція, що виводить титульний листок;

9)  vikno - функція, що створює вікно ( при розрахунку центра ваги).

2.2 Математичний розв’язок

Центр ваги твердого тіла ─ це точка, яка визначається радіус-вектором , що знаходиться за формулою:

                          = ,                                                                           (1)

де М  ─ маса твердого тіла,  ─ радіус-вектор, проведений із початку відліку в довільну точку твердого тіла.

Фактично, знайшовши вектор  (його координати), ми знайдемо координати центру ваги твердого тіла, оскільки координати вектора знаходяться як різниця координат кінцевої і початкової точок, а в нашому випадку кінцева точка ─ це є центр ваги, а початкова ─ початок відліку О(0;0;0).

Розпишемо радіус-вектори  і   у вигляді:

                 = +,                                                                               (2)

                = +,                                                                                  (3)

де , ─ це орти відповідно осей ox і oy; ,  ─ координати довільної точки твердого тіла; , , ─ координати центру ваги твердого тіла.

Підставимо (2) і (3) в (1):

                  ++ = ,                                                     (4)

Розбиваємо в останньому виразі інтеграл справа в (4) на два інтеграли:

                   += () + ()                                             (5)             

Із (5) випливає, що задача знаходження координат центру ваги твердого тіла звелась до знаходження інтегралів справа в (5). Використовуючи властивості інтеграла, можна перейти до додавання:

                                     =,                                                           (6)

                                    =,                                                            (7)

Де х_і, у_і − координати точки масою m_i (у_і+1-у_і→0, х_і+1-х_і→0).

Додатково покладаючи, що

                                   ,                                                                (8)

і, враховуючи, що

                                                                                               (9)

отримуємо:

                                     =,                                             (10)

                                     =,                                            (11)

Іншими словами, центр мас можна знайти, використовуючи формули (10)−(11), взявши за у_і та х_і точки, що розподілені рівномірно по всій довжині дуги, на достатньо малій відстані. На практиці це реалізується, наприклад, переходом до полярних координат:

                                     =,                                                      (12)

                                     =,                                                      (13)

де

Формули (12)−(13) і є розрахунковими для даної задачі.