Планирование и обработка результатов полного факторного эксперимента

Лабораторная работа №4 “Планирование и обработка результатов полного факторного эксперимента”

Цель работы.  С помощью двухуровнего плана полного факторного эксперимента получить линейную и неполную квадратичную  регрессионные модели химико-технологического процесса на примере химического реактора, проверить их адекватность и дать рекомендации о применимости моделей для описания процесса.

1. Математический анонс.

          Планирование эксперимента предполагает проведение опытов в заданных  исследователем  условиях в соответствии с математическим планом. Такой способ проведения эксперимента называют активным, а эксперимент планированным. При обычной, классической постановке эксперимента факторы варьируются поочерёдно, в активном эксперименте выполняется  одновременное варьирование всех факторов, благодаря чему сокращается число опытов.  Методы планирования в зависимости от конечной цели эксперимента подразделяются на два класса:

• методы факторного планирования (цель эксперимента – получить адекватную регрессионную модель химико-технологического процесса);
• методы экстремального планирования (цель эксперимента – определить значения факторов, при которых отклик принимает экстремальное значение).

План полного факторного эксперимента (ПФЭ) относится к методам факторного планирования.

1.1.Основные понятия планирования эксперимента

Уровни факторов.

          Для выполнения эксперимента необходимо определить область экспериментирования. С этой целью экспериментатор задаёт диапазон значений  для каждого фактора. В планировании эксперимента значения факторов принято называть уровнями:

• нижний уровень фактора – это его минимальное значение (Z^min);
• верхний уровень фактора – это его максимальное значение (Z^max);
• основной уровень фактора – это его среднее значение (Z⁰).

          Например, в эксперименте варьируется температура (Z₁) в интервале от 100 до 200⁰С. Для этого фактора нижний уровень: 100⁰С, верхний уровень: 200⁰С, основной уровень: 150⁰С.

Центр плана.

Опыт, значения факторов в котором соответствуют основному уровню, называется центром плана. Таким образом, координата центра плана по i- ому фактору:

                                  Z_i⁰ = (Z_i^max + Z_i^min)/2         i = 1,2..n,                                              (1)

где n– число факторов в эксперименте.

Интервал варьирования.

          Интервал варьирования (ΔZ_i) – это разность между верхним и основным уровнем фактора или разность между основным и нижним уровнями. Соответственно разность между верхним и нижним уровнями составляет удвоенный интервал варьирования, поэтому:

ΔZ_i = (Z_i^max - Z_i^min)/2         i = 1,2..n                                              (2) 

Например, в эксперименте варьируется температура (Z₁) в диапазоне от 100 до 200⁰С и концентрация (Z₂) в диапазоне от 1 до 1.5моль/л. Интервалы варьирования в соответствии с (2): 50⁰С и 0.25моль/л.  Координаты центра плана и интервалы варьирования показаны на рис.1.

Рис.1.

 Кодированные факторы.   

Математическийплан эксперимента не должен зависеть от физической природы факторов, вид плана определяется только числом факторов и характером идентифицируемой регрессии.  Поэтому все планы разработаны для кодированных факторов (X), т.е. факторов, приведённых к единой системе координат. Переход от фактора Z_i , значения которого имеют определённую размерность, будем называть такие факторы размерными, к кодированному фактору X_i, будем называть такие факторы безразмерными, осуществляется по формуле:

X_i = (Z_i - Z_i⁰)/ΔZ_i                                                                      (3)

Если в эту формулу подставить соответствующие выражения (1) и (2), то получим

                          для     Z_i = Z_i^max     -      X_i = 1

                          для     Z_i = Z_i^min      -      X_i = -1   

                          для     Z_i = Z_i⁰         -      X_i = 0.

1.2. План полного факторного эксперимента.

План ПФЭ включает все возможные комбинации из nфакторов, каждый из которых принимает 2 (нижний и верхний) или 3 (нижний, верхний и основной) уровня.  Если фактор принимает два значения, то число возможных комбинаций 2ⁿи план называется ПФЭ типа 2ⁿ,  если три значения, то число возможных комбинаций 3ⁿи план называется ПФЭ типа 3ⁿ. Так как чаще используется двухуровневый план, его рассмотрим более подробно, и в дальнейшем будем называть просто ПФЭ. Число точек (опытов) в этом плане

                                                        m=2ⁿ                                                            (4)