Несобственный интеграл. Функции нескольких переменных

Лекция 7

Определение. Несобственный интеграл называется условно-сходящимся, если он сходится, но не является абсолютно-сходящимся.

Пример. 1. .

При  интеграл сходится абсолютно, т.к. , а  сходится.

При  абсолютной сходимости нет:

, где  расходится.

2. .

, где  при , и  имеет конечный предел, т.е. он сходится.   расходится + сходится  расходится   расходится при .

Однако, этот интеграл является условно-сходящимся, т.к. .

Функции нескольких переменных.

Определение.  - пространство точек  с расстоянием .

Свойства расстояния:

1.

2.

3.

Определение. .

Определение. Шар радиуса  с центром в точке :

Определение. Точка  называется внутренней точкой множества , если .

Определение. Точка  называется внешней для множества , если   (т.е.  не пересекается с множеством ).

Определение. Точка  называется граничной точкой множества , если она не является ни внутренней, ни внешней, т.е.  включает точки, как принадлежащие, так и не принадлежащие .

Примеры.

1. .

Тогда внутренние точки: .

Внешние:  и .

Граничные:  и .

2. На : .

Внутренние точки: .

Внешние точки: точки, для которых либо  либо .

3. .

Внутренних и внешних точек нет  все точки граничные.

4.  в .

Внутренних точек нет, т.к. любая окрестность не включается в полуинтервал.

Внешние  и граничные точки: все точки, не принадлежащие .

Определение. Множество  называется открытым, если все его точки являются внутренними (точки границы не входят в множество).

Определение. Множество  называется замкнутым, если все граничные точки принадлежат .

Примеры.

1.  - открытое множество.

Пусть . Тогда  если .

В самом деле, если , то .

2.  является замкнутым.

Если . Тогда  - не граничная точка, а внешняя:  .

. Действительно, если , то  - является замкнутым.

Определение. Множество  называется ограниченным, если оно целиком лежит в некотором шаре .

Например, любой прямоугольник в  ограничен, т.к. его можно включить в шар с центром в начале координат.

Ограниченность множества М означает, что   ().

Полуплоскость в  - не ограниченное множество.

Рассмотрим отображение (правило, сопоставляющее любой точке из М её точку из ).

Определение. Отображение называется непрерывным в точке , если точка  является внутренней для  и    .

Определение. Кроме того,  называется пределом отображения , если    .

Определение. Таким образом, отображение называется непрерывным в точке , если .

Теорема. О непрерывности сложного отображения.

Пусть  непрерывно в точке  и  непрерывна в точке . Тогда сложное отображение, определённое в , непрерывно в точке .

Доказательство условно совпадает с доказательством  теоремы о непрерывности сложной функции.

Определение. Отображение  называется функцией нескольких переменных.

Например,

                                                      

Если функция задана в  или , то вместо  или , пишут чаще  или .

Определение. Будет писать, что , если   . Такой предел называется пределом по множеству .

Пример.

,

Пример.