или
Последнее уравнение
называется характеристическим. Его дискриминант позволяет
рассмотреть три случая. Первый -
, тогда
и
- действительные
числа и мы имеем два линейно независимых решения
,
и общее решение равно:
Второй случай- , т.е.
или
и характеристическое уравнение
имеет один корень и одно частное решение
. Второе частное решение -
. Подставляя последнее в исходное
уравнение, получим:
=
+
-
+
=0
В результате получим общее решение
И, наконец, рассмотрим . При этом характеристическое уравнение
имеет вид:
,
или
,
Получаем два линейно независимых частных решения
Тогда общее решение имеет вид
11. Неоднородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами и правой специальной частью.
или
,
,
где -
многочлен n-ой степени.
А. Рассмотрим уравнение
и его частное решение , где
-
многочлен той степени, что и
. Подставляем частное
решение в уравнение
или
Приводя подобные слагаемые получим :
Отметим, что - многочлен меньшей степени, чем
и поэтому последнее равенство возможно
только в том случае, если
, то есть при a, не
являющимся корнем характеристического уравнения.
Рассмотрим три случая:
а) Число a не совпадает с корнями
характеристического уравнения. Поэтому из всех значений а рассмотрим лишь те
значения, когда и
В этом случае частное решение:
, где
=
,
а коэффициенты , i=0,1,2,…n находятся из уравнения.
б) Число a совпадает с одним из корней
характеристического уравнения, то есть .
В этом случае: не является решением:
Как уже показано выше,
,
так как многочлен слева не равен многочлену справа( степень многочлена слева на единицу меньше, чем многочлена справа).
В этом случае частное решение:
.
Подставляем в исходное уравнение, найдем методом
неопределенных коэффициентов числа
для многочлена
.
в) В случае, число a совпадает с обоими корнями характеристического уравнения(когда эти корни одинаковы), частное решение равно:
.
В. Рассмотрим уравнение
.
Если корни характеристического уравнения действительные, то частое решение
Если корни характеристического уравнения действительные, то частное решение
,
где и
- многочлены одной степени с
. В противном случае, когда корни
характеристического уравнения- комплексные числа
,
не совпадающие с числом , частное решение имеет вид
И, наконец, если комплексное
число , заданное правой частью дифференциального
уравнения совпадает с одним из корней характеристического уравнения
, то частное решение имеет вид
,
где и
- многочлены той же степени, что и
, коэффициенты которых не известны.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.