Список вопросов по курсу "Математические методы моделирования" ("Вычислительная математика")

Список вопросов по курсу "Математические методы моделирования"("Вычислительная математика")

за V, VI семестры 2007/08 и VII семестр 2008/2009 годов.

Декабрь 2008

I

1.Предмет вычислительной математики. Роль и место. Схема вычислительного эксперимента. Ограничение по памяти, быстродействию, точности вычислений и сложность задач.

2.Представление вещественных чисел в ЭВМ. Основные параметры машинной арифметики. Свойства машинных чисел, абсолютная и относительная погрешность представления вещественных чисел в ЭВМ. Машинное эпсилон.

3.Нормы векторов. Аксиомы нормы. Нормы матриц, подчинённые данной норме вектора. Свойства подчинённых матричных норм.

4.Лемма о матрице .

5.Полная оценка относительной погрешности решения систем линейных алгебраических уравнений . Число обусловленности матрицы. Невязка и ошибка (погрешность) решения. Связь между ошибкой и невязкой. Неравенство, связывающее относительную ошибку, невязку и число обусловленности.

6.Число обусловленности и его свойства. Число обусловленности ортогональной матрицы.

7.Элементарные матрицы. Матрица, обратная к элементарной. Специальные элементарные матрицы: исключения, Хаусхолдера (отражения), перестановки.

8.Свойства матрицы элементарного преобразования Хаусхолдера (отражения).

9.Свойства матрицы преобразования Гивенса (вращения).

10.Свойства треугольных матриц.

11.Матричная запись метода Гаусса с выбором ведущего элемента по столбцу и связь метода с разложением на множители . Применение –разложения для вычисления

12.Единственность -разложения.

13.Теорема Гершгорина. Диагональное преобладание. Теорема Адамара.

14.Вычисление -разложения методом окаймления. Ленточные матрицы. Верхняя и нижняя полуширина ленты. Ширина ленты. Разложение ленточной матрицы с перестановками и без. Схема хранения ленточной матрицы с учётом перестановок и без.

15.Метод прогонки для трёхдиагональных систем. Достаточные условия устойчивости метода прогонки.

16.Компактная схема -разложения. -разложение.

17.Разложение Холесского (-разложение, -разложение).

18.Вычисление-разложения преобразованиями Хаусхолдера или Гивенса. Условие единственности QR-разложения. Применение -разложения для решения.

19. Связь разложения с процедурой ортогонализации векторов Грамма-Шмидта.

20.Вычисление-разложения преобразованиями Хаусхолдера или Гивенса (-ортогональные, -верхняя двудиагональные матрицы). Применение -разложения для решения

21.Вычисление верхней матрицы Хессенберга подобными преобразованиями Хаусхолдера, (Гивенса или исключения) для случаев  и. Алгоритм решения задачи

22.Спектральное разложение. Разложение Шура. Сингулярное разложение. Полярное разложение.

23 Применение матричных разложений для решения, вычисления  и .

24.Решение переопределенных систем алгебраических уравнений с прямоугольной матрицей полного ранга. (Метод на основе нормальных уравнений, - и сингулярного разложений).

25.Степенной метод. Прямые и обратные итерации. Обратные итерации со сдвигом.

26.Основные этапы QR-алгоритма решения полной проблемы собственных значений.

27.Теорема Бауэра-Файка.

28.Чувствительность собственных чисел и собственных векторов к изменению элементов матрицы. Число обусловленности собственного значения.

II

29.Постановка задачи интерполяции. Полином Лагранжа. Существование и единственность полинома Лагранжа. Оценка остаточного члена. Полиномы Чебышёва и их корни. Минимизация погрешности. Оценка погрешности полинома Лагранжа в точке, на интервале, для равноотстоящих узлов. Сходимость интерполяционного процесса.

30.Разделенные разности. Полином Ньютона.

31.Кубическая сплайн-интерполяция. Постановка задачи. Типы краевых условий. Вывод уравнений для коэффициентов кубического сплайна с учётом разных типов краевых условий. Единственность сплайна. Формула для оценки погрешности интерполяции гладких функций и их производных кубическим сплайном.

32.Постановка задачи численного дифференцирования. Основные идеи (методы) построение формул численного дифференцирования. Примеры простейших формул. Оценка точности и выбор оптимального шага формул численного дифференцирования.

33. Понятие о В-сплайнах. Применение их для задачи интерполяции.

34. Среднеквадратичная аппроксимация.

35.Простейшие квадратурные формулы и их погрешность. Малые и большие квадратурные формулы левых, правых и средних прямоугольников, трапеций, Симпсона.

36.Интерполяционные квадратурные формулы. Формулы Ньютона-Котеса. Сплайн-квадратуры.

37.Идея построения квадратурных формул Гаусса, Чебышёва и Маркова, примеры формул.