Приклади аналізу перехідних процесів

Файл 4

Перехідні процеси в електричних колах

1. Приклади аналізу перехідних процесів:

1.1. Вмикання котушки індуктивності до джерела постійної ЕРС.

1.2. Вмикання конденсатора до джерела постійної ЕРС (через резистор)

1.3. Відключення котушки індуктивності від джерела постійної ЕРС з розрядом на резистор.

1.4. Відключення конденсатора від джерела постійної ЕРС з розрядом на резистор.

1.5. Підключення котушки індуктивності до джерела синусоїдної ЕРС.

1.6. Розряд конденсатора на котушку індуктивності.

1. Приклади аналізу перехідних процесів

1.1. Вмикання котушки індуктивності до джерела постійної ЕРС

Вважається, що параметри схеми заміщення R, L котушки індуктивності і постійна ЕРС Е задані.

Рис. 5.4

У відповідності до загальних правил складаємо рівняння за другим законом Кірхгофа для кола після замикання вимикача Q, а саме u_R + u_L = Е, де напруги виразимо за (5.4) через струм і:

Розв'язання шукаємо для струму у вигляді суми двох складових і = і_y + i_в.

ЕРС постійна, тому усталений струм буде також постійним, і його можна визначити за схемою рис. 5.4, б, отриманої зі схеми рис. 5.4, а, а саме

(для постійного струму елемент L не чинить опору).

Для вільної складової при Е = 0 з (5.10) маємо диференційне рівняння першого порядку:

Його розв'язання відоме з курсу математики і має загальний вигляд (5.9) i_в = А_іе^рt, де А_і – стала інтегрування, р - характерис­тичний параметр, е - основа натуральних логарифмів.

Для знаходження р визначимо похідну

і підставимо її в Тоді з Lрі_в + Ri_в = 0 маємо характеристичний параметр

На практиці використовується величина

постійна часу [с], яка задає швидкість протікання перехідного процесу і його тривалість.

Конкретно для кола, що розглядається:

Зводимо усталену і вільну складові разом (5.8):

До комутації при t = -0 струм у колі відсутній: i(-0) = 0. За пер­шим законом комутації (5.1) після замикання вимикача в колі за рис. 5.4, а струм повинен зберегтися: i(+0) = i(-0). Таким чином початкове значення струму i(0) = 0 , тобто і = 0 при t = 0. Після підстановки цих значень у формулу (5.13) маємо

а звідси - і саму сталу інтегрування

З урахуванням цього підсумкові розв'язки для струму (5.13), а також для напруг на елементах L і R:

1.2. Вмикання конденсатора доджерелапостійної ЕРС(через резистор)

Вихідне рівняння для контура після комута­ції за другим законом Кірхгофа u_R+u_с = Е.

Рис. 5.6

Робимо підстановку за (5.4) і (5.6)

і отримуємо диференційне рівняння

яке за (5.8) підлягає розв'язанню у вигляді u_с = u_cу + u_cв.

Очевидно, що всі усталені величини повинні бути постійними, тому що ЕРС постійна. У тому числі, усталена напруга конденса­тора також є постійною величиною u_Су = U_с = Е (конденсатор зарядиться до напруги, яка дорівнює ЕРС джерела).

Рівняння для вільної складової при Е = 0 з (5.15) має вигляд:

а його загальний розв'язок за (5.9): u_СB = А_uе^рt. Від цього виразу похідна

підставимо її у рівняння (5.16) і отримуємо RCpu_Cв + и_Св = 0. Звідси знаходимо характеристичний параметр і сталу часу [с]:

Зводимо розв'язки для двох складових воєдино:

вважаємо, що конденсатор був незаряджений, тому при t = 0 буде за законом комутації (5.2) u_с(0) = 0 і після підстановки цього в (5.18) маємо Е+А_u = 0, звідки стала інтегрування А_u = -Е. Підсумковий розв'язок:

на основі чого з формули (5.6) маємо струм:

а потім і напругу на резисторі:

1.3. Відключення котушки індуктивності від джерела постійної ЕРС з розрядом на резистор

Діючи відповідно зі встановленим порядком, отримуємо наступні розрахункові вирази для схеми кола, що створилося після одночасної комутації вимикачів Q1 і Q2:

Розв'язок містить тільки вільну складову і = і_В, бо усталена складова і = 0 (в колі після комутації джерело відключене). Рівняння для вільної складової за (5.22):

має відомий розв'язок (5.9) і_в = A_іe^pt.

За вже відомими діями визначаються характеристичний пара­метр і стала часу:

Для визначення сталої інтегрування А_і використаємо початкові умови. Коли вимикач Q1 був замкнений, від джерела через котушку індуктивності проходив постійний струм, але індуктивний еле­мент L при такому струмі не врахову­ється, тому при t = 0 i(0) = E/R. Підставимо це у вираз струму i_в і отримуємо рівняння

та сталу інтегрування

Рис. 5.8

Таким чином, розв'язки для струму і напруг: