Тензоры. Законы сохранения

ТЕНЗОРЫ

ДСК = декартова с.к.               

ЦСК = цилиндрическая с.к.   

ССК = сферическая с.к.          
ПСК = полярная с.к.               

Вспомогательные формулы

Т1.  базис
                                                           
кобазис: 2 варианта
1) есть формулы  Þ               
2) нет формул  Þ   Þ находим направления
      Þ нормируем векторы

Т2.  разложение тензора   ,  

Т3.  метрический тензор    …  Þ  симметричный  

Т4.  жонглирование индексами  

Д1.  ковариантная производная  

Д2.  символы Кристоффеля   ,   см. 7

Д3.  градиент скалярной функции   Ñf  = вектор  

Д4.  градиент векторной функции    = тензор   

Д5.  дивергенция векторной функции   div F = = вектор, след матрицы

Д6.  дивергенция тензора   (div T) ·u ≡ div (T^*u)

  1.  Найти базис, кобазис для ССК
ЦСК, базис из формул Т1   Þ     
ЦСК, кобазис из формул Т1 вариант 2  Þ         

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ: Найти базис, кобазис для ССК

      
                                

  2.  Доказать:  
столбцы   = векторы базиса: столбцы   = векторы кобазиса:

отсюда и из формул Т1   Þ  

  3.  Найти компоненты      для ЦСК
из формул Т3   Þ      Объяснение, почему много нулей

  4.  Найти компоненты      для ЦСК
из формул Т3   Þ  

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ: Найти компоненты  для ССК

из формул Т3   Þ    

  5.  Рассмотрим лишь 1-е уравнение; остальные получаются жонглированием индексов:

   Þ    

Заметим:    Þ   матрица оператора  невырожденная в любом базисе

  6.   – базис в ,  , все  различны; векторы    Þ    после подходящей нормировки  можно принять за кобазис
   Þ    

  7.  , , все  различны. Найти матрицу  в базисах
Пусть  Þ  или в матричной записи 

  8.  Определить      по аналогии с   
Т2  Þ  
                       
                       
                        
                       Þ 

  9.  Определить      по аналогии с   

10.  Формула для вычисления 
Д1 Þ
                                                                 
                                                       

11.  Доказать:
Т3, Д2   Þ  
 (1)        (2)       (3)
(2) + (3) – (1)Þ

12.  Символы Кристоффеля для ЦСК, ССК
ЦСК: Д2, 1   Þ          остальные = 0
ССК: Д2, 1, 8   Þ      Þ  

13.  Найти  в  ЦСК
найдем    затем поднимем индексы
ЦСК: Д3   Þ

14.  Дивергенция векторного поля в ПСК, ЦСК, ССК
ЦСК: 8   Þ   выписать    9Þвычислить
Д5   Þ   div F =
ПСК: из div F для ЦСК удалить 3-е слагаемое
ССК: 8   Þ   выписать    9   Þвычислить
Д5   Þ   div F =

15.  Записать закон сохранения массы в ПСК, ЦСК, ССК
Выражения для  div F  из 10 вставить в  Þ  

16.  Компонентная запись уравнения    в  ДСК, ПСК
ДСК: Д6   Þ   
 
ЦСК: 8   Þ      Þ  

17.  Уравнение Лапласа в  ДСК, ЦСК, ПСК, ССК
ДСК: ;     все
Д3   Þ   градиент ск. функции  = вектор 
10   Þ   дивергенция вектора                        div v =
оператор Лапласа                                   
ЦСК: 1 Þ    8 Þ  
9 Þ градиент функции                  
10 Þ дивергенция векторного поля   div v =
оператор Лапласа                         
ССК: 1 Þ    8 Þ  
9 Þ градиент функции    
10 Þ дивергенция векторного поля             div v =
оператор Лапласа              

18.  Доказать:  
f – скалярная функция Þ Ñf  = вектор  
g – скалярная функция Þ Ñg  = вектор  
fg – скалярная функция Þ Ñ(fg)  = вектор  
запишем и сравним компоненты левой-правой части

19.  f – скалярная, g – вектор-функция. Доказать:
запишем и сравним компоненты левой-правой части
Д4 Þ
 см (14)  (1)
 (2)                    (3)
(1) = (2) + (3)

20.  F, U – вектор-функции, U – постоянная. Доказать:
Д4 Þ ,
,  Þ

21.  F, U – вектор-функции. Доказать:
Д4 Þ ,   Þ первое слагаемое =
Аналогично второе слагаемое:
Д4 Þ ,   Þ
Левая часть тождества:

22.   – скалярная, F – вектор-функция. Доказать:   

ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

Вспомогательные формулы

  1.    Вычислить    

  2.  Вычислить  div (см 18)      

  3.  Как внести  под знак интеграла     

 

1.  Закон схр. массы Þ дивергентный вид

  


 

2.  Формула Эйлера 
Используем формулы   ;  
правила дифференцирования определителя и свойства определителя Þ
Þ

3.  Закон схр. импульса Þ дивергентный вид    
 

   Þ   формула 2.

4.  Закон схр. энергии Þ дивергент вид   5.

Дифф. форма закона  Þ
Интегр. форма закона  
 – вектор потока тепла, .
В левой части вносим  пол интеграл,
правую часть преобразуем по формуле Гаусса-Остроградского:
 Þ
Из закона схр массы  …

5.  Доказать: