Линейная независимость. Координатный изоморфизм. Линейная независимость в геометрическом пространстве и в пространстве функций

На ошибках учатся только те, кто не путает их с победами

Линейная независимость

Введение

Существует две задачи:

1.  Дан базис, надо построить линейную оболочку.

Один из хороших способов задания линейного пространства – это задать систему , тогда  , где  – числа. И все такие  образуют линейное пространство. Это техника от базиса.

Пример. Даны два непараллельных вектора .

Задавая , точки будут пробегать всю плоскость, следовательно, плоскость – это линейная оболочка двух непараллельных векторов.

2.  Дано линейное пространство, надо определить базис.

1. Координатный изоморфизм

Пусть имеется элемент  линейной оболочки системы векторов , тогда его можно представить в виде линейной комбинации этих векторов: .

При изоморфизме нулевому элементу  соответствует нулевой элемент . Действительно, если , то т. о. , а значит, .

Тогда в системе векторов  элементу  однозначно соответствует элемент : .

Изоморфизм должен сохранять операции. Проверим.

 – тензор элемента  (его координата).

Геометрический изоморфизм мы уже установили (см. лекцию 15).

2. Линейная независимость

Пусть имеется линейная оболочка системы , т. к.  – есть линейное пространство, то оно содержит нулевой элемент:

 – тривиальная линейная комбинация.

   Система элементов  называется линейно независимой, если нулевой элемент представляется только тривиальной комбинацией , а если другой, то линейно зависимой.

Или, если ни один из  не представляется линейной комбинацией других, то система линейно независима.

Теорема.

           Если система  линейно независимая, то всякий элемент  линейной оболочки: представляется единственной линейной комбинацией. (Если  линейно зависимая, то нет.)

Доказательство. Пусть  и ., тогда

. Т. к. система  линейно независимая, то нулевой элемент представляется только тривиальной комбинацией, следовательно, . Значит, разложение единственно.//

Типовая задача 1установить линейную независимость данного набора векторов линейного пространства.

           Пусть в линейном пространстве найдется  – линейно независимых элементов, а всякий  – элемент делает систему линейно зависимой, тогда  – размерность пространства, а сама система векторов является базисом пространства.

Замечание базис пространства определен неоднозначно.

3. Линейная независимость в

·  : элемент  из  является базисом, т. к. всякое другое число есть элемент , умноженный на некоторое число.

2=1+1,

3=2+1 по правилу параллелограмма.

0=0*1-тривиальная комбинация.

·  : элементы .

Например, имеется два линейно независимых элемента: . Действительно, выразим  через : , но система  решений не имеет, а значит элементы линейно независимы.

Всякий третий элемент  делает систему линейно зависимой:

 (коэффициент при  не равен нулю).

В нулевой линейной комбинации либо все коэффициенты равны нулю, либо минимум два коэффициента не равны.

Т. о. .

·  : элементы.

Рассмотрим систему элементов , тогда любой элемент  можно представитьлинейной комбинацией: . Будет ли система  базисом?

1.  Рассмотрим линейную комбинацию , если все , то система линейно независимая.  – однородная система. , следовательно, Крамеровская система, а значит, система имеет единственное решение .

Вывод (условие линейной независимости в ): если определитель, составленный из координат векторов, не равен нулю, то вектора линейно независимы. Если равен нулю, то линейно зависимы.

2.  Система  – линейно зависимая, т. к.  – нетривиальная комбинация.

Значит,  – базис  и тогда .

Типовая задача 2разложить заданный вектор по заданной системе других векторов (как линейно независимых, так и линейно зависимых).

4. Линейная независимость в геометрическом пространстве

1.  Пространство  – линейная оболочка вектора . Линейная оболочка одного аргумента называется направлением.

Любой элемент , но тогда  – нетривиальная комбинация, следовательно, они зависимы.

Т. о. один независим (), а остальные зависимы от него (в школе – это коллинеарные вектора), в силу этого, в  всякая система двух векторов линейно зависима.

2.  Пространство , где  – векторы разного направления.  называется плоскостью векторов.

Любой элемент  можно представить линейной комбинацией : .

Тогда  – нетривиальная комбинация, следовательно,  – базис. В  (на плоскости) любые три вектора линейно зависимы.

5. Линейная независимость в пространстве функций

Пусть дана система функций , .

 (ограничим регулярными функциями ).

Является ли система функций  линейно независимой?

Если  – тривиальная комбинация, то да. Продифференцируем левую и правые части:

,

,

нам достаточно продифференцировать  раз:

.

Перед нами однородная система, в матричном виде, которая имеет вид:

.

Однородная система всегда разрешима (всегда имеется тривиальное решение), причем, решение будет единственное, если определитель основной матрицы не равен нулю – условие линейной независимости в :

 – определитель Вронского.

Пример. Дана система . Является ли она линейно независимой?

Составим определитель Вронского:

.

Значит, система элементов линейно независима , а следовательно, в пространстве регулярных функций  сколь угодно линейно независимых функций.

Т. о. линейные пространства подразделяют на конечномерные и бесконечномерные пространства.

Пример.

1.  Определить, является ли система векторов в  базисом? .

2.  Разложить вектор  по системе .