Математика \ Высшая математика

Конечномерная линейная задача (элементарная теория)

Страницы работы

11 страниц (Word-файл)

Скачать файл

Содержание работы

Кто хочет сделать – ищет способ, кто не хочет – ищет причину

Конечномерная линейная задача (элементарная теория).

1. Основные понятия

Рассматривается система m – линейных уравнений с n – неизвестными:

Что означает скобка? (и; и то , и другое).

Величины называются коэффициентами системы, – свободными членами, – неизвестные, которые надо определить, – размерность задачи.

Совокупность чисел называется решением системы, если при подстановке в систему на место неизвестных все уравнения обращаются в тождество. Каждая такая совокупность называется частным решением системы.

Пример: (1).

Решением являются пары чисел (1; 1), (2; 0), (0; 2) и т. д. Пара (1; 3) решением не является.//

В матричной форме система уравнений имеет вид:

или , или – тензорная запись.

– основная матрица системы.

Задача: вычислить все для которых

Система называется однородной, если правая часть системы равна нулю (столбец – нулевой), иначе неоднородной.

(1) – неоднородная система.

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение (не менее одного), иначе несовместной.

(1) – совместная система.

Система называется определенной, если имеет ! решение, неопределенной, если больше одного решения.

(1) – неопределенная система.

Ограничимся рассмотрением систем, когда .

2. Крамеровские системы линейных уравнений

Рассмотрим систему из – уравнений с – неизвестными:

В матричной форме система имеет вид:

или .

Матрица называется основной матрицей системы или главной матрицей.

Очевидно, что система не изменится, если

1) любое уравнение умножить на любое ненулевое число;

2) к любому уравнению прибавить любое другое,

3) переставить уравнения местами,

т. е. в результате получим равносильную систему.

Формулы Крамера

сложим уравнения, получим:

или (вторая и т.д. скобки равны нулю по теореме) – уравнение относительно , причем относительно разрешима единственным образом.

, тогда , где.

Аналогично, и т.д.

Т. о. – формулы Крамера.

Решение существует, если .

Вывод: если определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое дается формулами Крамера.

Случай пока отложим.

Пример: , , , , значит .

3. Общее решение СЛАУ 2х2

1. Рассмотрим систему 2х2:

, , ,

следовательно

2. Обратная матрица к матрице 2х2

. Это уравнение эквивалентно двум системам:

и , тогда согласно примеру 1), получим

и .

Таким образом,

4. Расширенная матрица. Ранг

Рассмотрим систему из – уравнений с – неизвестными:

Если к основной матрице системы дописать столбец свободных членов, то получим расширенную матрицу линейной задачи:

Матрица , в общем случае (), определителя не имеет, но из ее элементов можно составить определители меньшего порядка.

Минором -го порядка матрицы называется всякий определитель, элементы которого лежат на пересечении любых - строк и -столбцов матрицы.

Пример: (2).

Тогда ранг матрицы – это наибольший порядок отличного от нуля минора. Обозначается , сам минор называется базисным (причем он определен неединственным образом), строки и столбцы матрицы, из которых составлен базисный минор, называются базисными. Переменные, которые соответствуют базисным столбцам, называются базисными, остальные небазисными (свободными).

Пример:

. Т. к. наибольший порядок определителя, который можно составить из элементов матрицы, равен 3 (всего 3 строки в системе), то либо , либо . Если среди миноров 3-го порядка есть ненулевой, то , иначе .

5. Леммы о ранге

Столбец является линейной комбинацией столбцов , если его можно представить в виде , где – коэффициенты, среди которых хотя бы один отличен от нуля.

В развернутом виде: .

Лемма об усечении:

Ранг матрицы не изменится, если ее расширить нулевым столбцом или нулевой строкой. [Ранг не изменится, если убрать нулевой столбец или нулевую строку.]

Доказательство. Следует из определения ранга матрицы и свойства определителя(определитель, имеющий нулевую строку или столбец, равен нулю).

Лемма о ранге:

Расширение матрицы линейной комбинацией ее столбцов не меняет ее ранг.

Доказательство. Следует из определения ранга и распределительного свойства определителя.

Лемма:

Всякая небазисная строка есть линейная комбинация базисных строк.

Следствие.

Если линейная задача разрешима, то

Доказательство. Пусть – решение системы, тогда , а следовательно является линейной комбинацией . Таким образом, по лемме о ранге .

Если , то :, то это эквивалентно следствию. Если не , то не : – контрапозиция.

Если , то линейная задача неразрешима.

Следствие носит название теорема Кронекера - Капелли.

Пример. или в матричном виде .

, следовательно, система неразрешима (несовместна).

6. Дефект линейной задачи.

Дефект линейной задачи – это разница между размерностью задачи и рангом основной матрицы: . (Показывает количество небазисных переменных).

Примеры:

(4.1) , , т. е. нет небазисных переменных, значит решение единственное .

(4.2) , , переменная – базисная, – свободная. Значит решений множество: (2; 1), (2; 0), …(2; с), т. е. – любое. В матричном виде:

(4.3) . , переменная – базисная, – свободные. Множество решений или в матричном виде:

(4.4)

(4.5) .

Таким образом, общее решение системы есть сумма какого-нибудь частного решения и решений однородной системы:

– частное решение, – решение соответственной однородной системы.

Любая задача может рассматриваться как задача произвольной размерности, но не ниже того числа , которое записано. Отсутствующие переменные могут принимать произвольное значение независимо друг от друга. (Примеры (4.2), (4.3)).

7. Опорные решения

Рассмотрим пример . , значит, решение неединственное. Если , то . Т. к. – любое, то можно выбрать частное решение, положив : – опорное решение. В матричном виде:

8. Линейная задача ранга 1

Т. е. из одного уравнения.

. , размерность не меньше , дефект не меньше .

Схема решения: называется «аукни и откликнется».

«Аукаем» ту переменную, коэффициент при которой не равен нулю. Пусть , полагаем тогда . Выпишем решение в матричном виде: .

Дефект .

Особые линейные уравнения

1. – безразличное или тривиальное уравнение. Является однородной системой. Множество решений .

2. – несовместное уравнение. Является неоднородной системой. Множество решений .

9. Системы ранга 2

Если – множество решений первого уравнения, – множество решений второго уравнения, то множество решений системы есть их пересечение: .

Если , то . Т. о. если система содержит тривиальное уравнение, то оно не влияет на решение системы, а значит, его можно вычеркнуть.

Если , то . Т. о. если система содержит неразрешимое уравнение, то тогда система несовместна.

Рассмотрим общий случай: .

Если , то -тое уравнение можно отбросить, т. к. оно не влияет на решение системы.

Если , то система неразрешима.

10. Элементарные преобразования и равносильные системы

Решение системы не изменится, если:

1. в системе переставить местами уравнения [в матричном виде: переставить местами строки в матрице ],

2. перенумеровать неизвестные [перенумеровать столбцы в матрице ],

3. умножить уравнение на ненулевое число [умножить строку матрицы на ],

4. к любому уравнению прибавить другое уравнение.

Элементарные преобразования не меняют ранг системы. Базисный минор элементарными преобразованиями можно «перегнать » в верхний левый угол. Тогда ранг будет равен количеству ненулевых строк полученной ступенчатой матрицы.

Пример: вернемся к примеру (2).

. Решим систему , где .

Выпишем расширенную матрицу системы и найдем ее ранг с помощью элементарных преобразований (приведем матрицу к ступенчатому виду):

, а значит система совместна. , следовательно решений множество.

Пусть – базисные переменные (минор, соответствующий этим переменным ненулевой), тогда – свободные переменные. Найдем решение системы, для этого выразим базисные переменные через небазисные (свободные) переменные: