Методические указания к выполнению лабораторно-практических занятий по курсу «Математические модели и автоматизированные технологии»

Федеральное агентство по образованию

ГОУВПО «Сибирский Государственный Индустриальный Университет»

Кафедра информационных технологий в металлургии

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к выполнению лабораторно-практических занятий по курсу

«Математические модели и автоматизированные технологии», специальность 230201 «Информационные системы и технологии»

Новокузнецк

2006 г.

ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

    Модель – это материальный или мысленно представленный объект, который в процессе познания (изучения) замещает оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные свойства.

Хорошо построенная модель доступнее для исследования – нежели реальный объект. Например, недопустимы эксперименты с экономикой страны в познавательных целях, здесь без модели не обойтись.

Имитационное моделирование – это имитация аспектов поведения системы с помощью другой, более доступной для наблюдения системы. Это моделирование, как правило, осуществляется с использованием ЭВМ.

          Имитационное моделирование давно и широко используется для различных целей. Например, модель объекта может применяться в системе управления в качестве дополнительного источника информации. Если модель работает быстрее объекта её можно использовать как полигон чтобы “потренировать” регулятор. Если информация об объекте поступает дискретно и с большим запаздыванием, модель может использоваться как источник непрерывной информации. В обоих случаях это обеспечивает лучшее качество регулирования.

          В задаче исследования на математической модели проводятся эксперименты с целью получения новых знаний об объекте.

Кроме того, невозможно обойтись без модели объекта при решении задачи оптимизации, так как проведение опытов на реальных объектах требует больших материальных и временных затрат.

Так же модель применяют на стадии разработки систем в качестве заместителя объекта. Это, например, используется при отработке поведения системы в различных ситуациях, в том числе и аварийных.

Ещё одной областью применения имитационного моделирования является задача обучения. Реальные объекты могут иметь довольно сложную природу. Проводить обучение на таких объектах, как правило, нецелесообразно, так как некорректное управление может повлечь за собой выход агрегата из строя. Кроме того, функционирование в режиме далёком от оптимального может привести к значительным экономическим затратам. Поэтому в процессе обучения необходимо использовать имитаторы и тренажеры, в которых реальные объекты заменены их математическими моделями.

Как говорилось выше, имитационные модели для этих задач используются уже давно и поэтому актуальной является задача построения таких моделей. Модель сформулированная на языке математики с использованием математических методов называется математической моделью.

Математические модели можно построить несколькими подходами и методами. Например, стохастический подход к построению математических моделей предполагает использование экспериментально-статистических методов, а детерминированный – известных физико-химических законов.

Данные методические указания посвящены изучению способов построения стохастических моделей с использование метода подстраиваемой модели.  Математическая модель строится в несколько этапов:

1.  Формулируется цель и предмет исследования;

2.  Производится сбор информации об объекте;

3.  Задается структура модели;

4.  Производится идентификация объекта;

5.  Проводится оценка адекватности модели;

6.  Модель используется для поставленной задачи.

Ниже приведены лабораторные работы, выполнение которых позволит ознакомиться с особенностями реализации этих этапов в условиях приближенных к реальным.

Лабораторная работа №1

Первый этап построения модели является заданием на моделирование и обычно выдается исследователю его руководителем, поэтому целью настоящей работы является решение второго этапа – сбор информации об объекте.

Сбор информации об объекте осуществляется в два этапа:

- сбор теоретических сведений об объекте по научно-технической литературе;

-  получение информации о вход-выходных параметрах объекта.

В ходе выполнения первого из этих этапов обычно генерируется гипотеза о структуре модели (виде математического уравнения). В результате выполнения второго этапа заполняется таблица наблюдений. Таблицу наблюдений можно получить после проведения эксперимента на объекте. Наиболее распространенными видами экспериментов являются активный и пассивный эксперименты. Настоящая работа посвящена проведению активного и пассивного спланированного эксперимента.

Активный эксперимент проводится на искусственном объекте, созданном на базе модели-имитатора, структура которой приведена на рисунке 1.

 

 Х                                 Y1                  Y2                       Y3                                     Y                   

1-алгебраическая часть модели; 2 - звено запаздывания; 3-инерционное звено; 4- блок генерации помех.

Рисунок 1 - Структура модели-имитатора

Алгебраическая часть модели имеет нелинейную структуру. Общий вид уравнения:

Yм = a₀ + a₁x₁ + a₂x₂ + a₃x₃ + a₄x₄ + a₅x₁x₂+ a₆x₁x₃ + a₇x₁x₄ + a₈x₂ x₃+ a₉x₂x₄ + a₁₀x₃x₄ + a₁₁x₁² + a₁₂x₂² + a₁₃x₃² + a₁₄x₄².                                                           (1)

Звено запаздывания:

Y2(t)=Y1(t-t).                                                                                                  (2)

Инерционное звено может быть либо первого, либо второго порядка. Общий вид уравнения:

                                         (3)

Блок генерации помех создает случайную, систематическую помехи и выбросы:

Y = Y3 + A + B,                                                                                    (4)

где А – случайная составляющая помехи, В – систематическая (изменяется по закону косинуса).

На рисунке 2 приведен результат программной реализации этой модели. Программа называется «Объект 1» и хранится в папке лабораторных работ.

                 

                   Рисунок 2 - Окно «Активный эксперимент»

Задачей исследователя является проведение опытов на этом объекте, согласно плана полного факторного эксперимента (ПФЭ). ПФЭ предполагает получение математической модели в виде, например, уравнения 1, для чего формируется план эксперимента, в котором входные параметры (факторы) изменяются на двух уровнях – верхнем (+1) и нижнем (-1). Пример такого плана приведен в таблице 1.

Так, как факторы Х1 – Х4 в искусственном объекте (Рис.2) изменяются в пределах от 0 до 10, то под верхним уровнем будем принимать 6, а под нижним – 4. Таблицу 1 удобнее всего реализовать в MS Excel.

Таблица 1- Матрица планирования ПФЭ.

№ опыта	Х1	Х2	Х3	Х4	Y1	Y2	Yср
1	-1	-1	-1	-1
2	+1	-1	-1	-1
3	-1	+1	-1	-1
4	+1	+1	-1	-1
5	-1	-1	+1	-1
6	+1	-1	+1	-1
7	-1	+1	+1	-1
8	+1	+1	+1	-1
9	-1	-1	-1	+1
10	+1	-1	-1	+1
11	-1	+1	-1	+1
12	+1	+1	-1	+1
13	-1	-1	+1	+1
14	+1	-1	+1	+1
15	-1	+1	+1	+1
16	+1	+1	+1	+1