Можна
здобути запис гармонійного ряду Фур’є в комплексній формі.
Комплексна
форма ряду Фур’є є дуже важливою. Для цього треба згадати формулу Ейлера:
Виразимо
гармонійні функції через комплексні експоненти:
Застосуємо
ці формули у виразі для ряду Фур’є.
Застосуємо
від’ємні значення номерів коефіцієнтів ряду. При цьому Тоді можна
отримати компактну форму запису ряду Фур’є:
В
отриманій формулі ряду Фур’є в якості базисних сигналів використані
експоненти
з уявними кратними аргументами. Цей базис складається з комплексних сигналів.
Коефіцієнти ряду – це теж комплексні числа.
Отримаємо
вираз для розрахунку коефіцієнтів комплексного ряду Фур’є.
Щоб
константа 1/2 не заважала розрахункам її враховують при розрахун ках коефіцієнтів.
Тому основні вирази для застосування комплексного ряду Фур’є мають наступний
вигляд:
Тоді можна
отримати компактну форму запису ряду Фур’є:
