Комплексна форма ряду Фур’є

13

Можна здобути запис гармонійного ряду Фур’є в комплексній формі.

Комплексна форма ряду Фур’є є дуже важливою. Для цього треба згадати формулу Ейлера:

Виразимо гармонійні функції через комплексні експоненти:

Застосуємо ці формули у виразі для ряду Фур’є.

Застосуємо від’ємні значення номерів коефіцієнтів ряду. При цьому  Тоді можна отримати компактну форму запису ряду Фур’є:

В отриманій формулі ряду Фур’є в якості базисних сигналів використані

експоненти з уявними кратними аргументами. Цей базис складається з комплексних сигналів. Коефіцієнти ряду – це теж комплексні числа.

Отримаємо вираз для розрахунку коефіцієнтів комплексного ряду Фур’є.

Щоб константа 1/2 не заважала розрахункам її враховують при розрахун ках коефіцієнтів. Тому основні вирази для застосування комплексного ряду Фур’є мають наступний вигляд: