Изучение непараметрических методов оценивания спектральной плотности мощности временного ряда и свойств цифровых оценок

МОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

Лабораторная работа № 5

по курсу анализ стохастических процессов

Выполнили	Бригада №2
Студенты	Козлов М. А. Попов И. О.
Группа	А – 01 – 03
Дата	16.11.07

Принял
Преподаватель
Дата

Цель работы

Изучение непараметрических методов оценивания спектральной плотности мощности (СПМ) временного ряда и свойств цифровых оценок.

Программа исследований

1. Смоделировать временные ряды с различной длиной реализаций: N1 = 100, N2 = 300 и N3 = 1000 - для указанных процессов.

2.  Исследовать свойства оценки СПМ в виде простой периодограммы, рассчитанной по реализациям различной длины N1, N2 и N3 для всех ти­пов процессов. Сделать выводы об изменении точности оценки в зависимости от длины реализации во всех случаях. Оценки для "белого" шума и процесса Х2 вывести на печать (для про­цесса Х2 - три графика на один рисунок).

3.  Исследовать свойства оценки СПМ в виде усредненной периодо­граммы для различных длин сегментов (10, 50 и 100 интервалов дискрети­зации) при длине N3 реализаций:

·  процесса типа "белый" шум с интенсивностью N0 = 1.0,

·  ряда Х3.

Сделать вывод о влиянии параметра усреднения (длины сегмента) на оценку спектальной плотности. Для расчетов оценки использовать прямо­угольное «окно», ширина которого определяет длину сегмента и устанав­ливается вручную. Оценки СПМ для процесса Х3 вывести на один график.

4. Исследовать свойства оценки СПМ в виде сглаженной периодо­граммы для различных типов «окон» при длине N3 реализаций:

·  процесса типа "белый" шум с интенсивностью N0 = 1.0,

·  ряда Х2.

Сделать вывод о влиянии ширины и типа "окна" на оценку спектра. Для исследования использовать "окна": Бартлетта и Ханна(Хэннинг) раз­личной ширины (10, 50 и 100 интервалов дискретизации). Вывести на печать графики оценок СПМ процесса Х2 для двух разных окон одинаковой ширины и для одного типа окна при различной его ши­рине.

5. Исследовать ряд SI2, используя все изученные способы оценивания СПМ. Сделать вывод о спектральном составе сигнала.

Исходные данные для проведения исследований

·  типа "белый" шум с интенсивностью N0 = 1.0,

·  X1 = SIN(0.05*2*PI*CASE(n)),

·  X2 = SIN(0.05*2*PI*CASE(n)) + 2*NOISE(n),

·  X3 = SIN(0.1*2*PI*CASE(n)) + Х2.

Результаты исследований

Исследование свойств оценки СПМ в виде простой периодограммы.

Оценки СПМ в виде простой периодограммы, рассчитанной по реализациям различной длины N1, N2 и N3 для процесса типа белый шум имеют вид:

Из представленных результатов видно, что с увеличением длины выборки разрешающая способность оценки СПМ увеличивается и оценка становится менее сглаженной. Данная оценка обладает большой дисперсией и является несостоятельной, поэтому судить по ней о частотном составе процесса затруднительно.

Оценки СПМ в виде простой периодограммы, рассчитанной по реализациям различной длины N1, N2 и N3 для процесса Х1 имеют вид:

Анализируя полученные результаты можно сделать вывод об увеличении точности оценивания частоты спектрального пика с ростом длины реализации за счет увеличения разрешающей способности.

Оценки СПМ в виде простой периодограммы, рассчитанной по реализациям различной длины N1, N2 и N3 для процесса Х2 имеют вид:

Анализируя полученные результаты можно сделать вывод о росте качества оценивания частоты спектрального пика с увеличением длины реализации за счет увеличения разрешающей способности (уменьшается размывание).

Оценки СПМ в виде простой периодограммы, рассчитанной по реализациям различной длины N1, N2 и N3 для процесса Х2 имеют вид:

Анализируя полученные результаты можно сделать вывод о росте качества оценивания частот спектральных пиков с увеличением длины реализации за счет увеличения разрешающей способности.

Исследование свойств оценки СПМ в виде усредненной периодо­граммы для различных длин сегментов.

Оценки СПМ в виде усредненной периодо­граммы для различных длин сегментов (10, 50 и 100 интервалов дискрети­зации) при длине реализаций N3 = 1000 для процесса типа «белый» шум имеют вид:

Анализируя полученные результаты можно сделать вывод об уменьшении точности оценивания и увеличении разрешающей способности с ростом количества интервалов дискретизации (увеличением ширины окна).

Оценки СПМ в виде усредненной периодо­граммы для различных длин сегментов (10, 50 и 100 интервалов дискрети­зации) при длине реализаций N3 = 1000 для процесса X3 имеют вид:

Анализируя полученные результаты можно сделать вывод о том, что с увеличением ширины окна разрешающая способность увеличивается и оценка становится все менее сглаженной, При этом спектральные пики, соответствующие основным гармоникам, становятся более выраженными. В то же время, при малой ширине окна качество оценивания мощности фоновой случайной помехи хуже, чем при большем значении.

Исследование свойств оценки СПМ в виде сглаженной периодо­граммы для различных типов «окон» при длине реализаций N3 = 1000.

Оценки СПМ в виде сглаженной периодо­граммы для окна Бартлетта для различных длин сегментов (10, 50 и 100 интервалов дискрети­зации) для процесса типа «белый» шум имеют вид:

Анализируя полученные результаты можно сделать вывод об уменьшении точности оценивания и увеличении разрешающей способности с увеличением ширины окна.

Оценки СПМ в виде сглаженной периодо­граммы для окна Хэннинга для различных длин сегментов (10, 50 и 100 интервалов дискрети­зации) для процесса типа «белый» шум имеют вид:

Анализируя полученные результаты можно сделать вывод об уменьшении точности оценивания и увеличении разрешающей способности с увеличением ширины окна.

Оценки СПМ в виде сглаженной периодо­граммы для окон Бартлетта и Хэннинга для 50 интервалов дискрети­зации для процесса типа «белый» шум имеют вид:

Исходя из анализа полученных результатов можно сделать вывод о том, что оценка, полученная с помощью окна Хеннинга является более сглаженной, что обусловлено меньшим влиянием эффекта наложения боковых лепестков. 

Оценки СПМ в виде сглаженной периодо­граммы для окна Бартлетта для различных длин сегментов (10, 50 и 100 интервалов дискрети­зации) для процесса Х2 имеют вид:

Анализируя полученные результаты можно сделать вывод о том, что с увеличением ширины окна разрешающая способность увеличивается и оценка становится все менее сглаженной, При этом спектральные пики, соответствующие основным гармоникам, становятся более выраженными. В то же время, при малой ширине окна качество оценивания мощности фоновой случайной помехи хуже, чем при большем значении. В данном случае наилучшим качеством обладает оценка, полученная при 50 интервалах дискретизации.

Оценки СПМ в виде сглаженной периодо­граммы для окна Хэннинга для различных длин сегментов (10, 50 и 100 интервалов дискрети­зации) для процесса Х2 имеют вид:

Из анализа полученных результатов следует вывод аналогичный сделанному при анализе результатов для окна Бартлетта.

Оценки СПМ в виде сглаженной периодо­граммы для окон Бартлетта и Хэннинга для 50 интервалов дискрети­зации для процесса Х2 имеют вид:

Исходя из анализа полученных результатов, можно сделать вывод о том, что оценка, полученная с помощью окна Хеннинга является более сглаженной, что обусловлено меньшим влиянием эффекта наложения боковых лепестков. Следовательно, вторая оценка является более точной.

Исследование ряда SI2

Оценка СПМ исследуемого ряда в виде простой периодограммы имеет вид:

Данная оценка обладает наибольшей разрешающей способностью, однако точность оценивания незначительная и судить о спектральном составе ряда по ней затруднительно. Предварительно можно сделать вывод о наличии в составе ряда гармоник низкой частоты и высокой частоты. На средних частотах наблюдается провал.

Оценка СПМ исследуемого ряда в виде усредненной периодо­граммы имеет вид:

Точность данной оценки больше предыдущей. Анализ полученных результатов подтверждает сделанный вывод относительно спектрального состава ряда. Частоты основных спектральных пиков: 0.05, 0.09 и 0.385 от частоты дискретизации съема данных.

 Оценки СПМ в виде сглаженной периодо­граммы для окон Бартлетта и Хэннинга для 30 интервалов дискрети­зации имеют вид:

Полученные оценки подтверждают сделанный вывод относительно спектрального состава рядов.

Т.о. в основная мощность исследуемого ряда сосредоточена на частоте 0.05 от частоты дискретизации. Кроме того, в состав ряда входят две гармоники с частотами 0.09 и 0.385 меньшей мощности. так же можно сделать вывод о наличии фоновой помехи мощностью 0.5.