Расчет простых цепей при постоянных токах и напряжениях. Расчет сложных цепей с помощью прямого применения законов Кирхгофа (главы 1-2 учебного пособия "Теоретические основы электротехники в примерах и задачах"), страница 2

Окончательно для токов , получим (рис. 1.8)

;

.

5. Ток  определим из уравнения, составленного по первому закону Кирхгофа для узла 1 (рис.1.6)

.

6. Из уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, для узлов 3 и 2 (рис. 1.6) определим токи  и :

;

.

Задача 1.3.

Определить показание амперметра, установленного в ветви с источником ЭДС (рис. 1.12), если , , , , , , . Внутренним сопротивлением амперметра можно пренебречь ().

    

             Рис. 1.12.                                             Рис. 1.13.

Решение.

1. Методом свертывания цепи преобразуем схему рис. 1.12 к виду, приведенному на рис. 1.13.

Заменим треугольник сопротивлений, подключенный к точкам 1, 2 и 3 (рис. 1.12),  эквивалентной звездой с вершинами 1, 2 и 3 (рис. 1.14).

Величины сопротивлений эквивалентной звезды:

;

;

.

     

Рис. 1.14.                                          Рис. 1.15.

Сопротивление  соединено последовательно с , а сопротивление  последовательно с  (рис. 1.14). Участок цепи с сопротивлениями  и  включен параллельно участку с сопротивлениями  и  (рис. 1.14).

Общее сопротивление обоих участков схемы (рис. 1.15) равно:

.

Сопротивления , , ,  (рис. 1.15) включены последовательно. Эквивалентное сопротивление всей цепи (рис. 1.13)

.

2. Показание амперметра соответствует току   (рис. 1.13):

.

Задача 1.4.

Определить величину источника тока, установленного на входе цепи (рис. 1.16), если показание амперметра в разветвленной части схемы составляет . Сопротивления резисторов  равны .

Внутреннее сопротивление источника . Внутренним сопротивлением амперметра можно пренебречь ().

     

           Рис. 1.16.                                               Рис. 1.17.

Решение.

1. Пользуясь методом свертывания, приведем участок цепи (рис. 1.16) относительно узлов 3 и 4 к виду, представленному на рис. 1.17.

Общее сопротивление участка цепи

.

2. Напряжение  между узлами 1 и 2  (рис. 1.17)

.

3. Ток  в ветви с сопротивлением  (рис. 1.17)

.

4. Ток источника  на входе цепи определим на основании первого закона Кирхгофа:

.

Задача 1.5.

В схеме (рис. 1.18) найти токи, применив метод пропорционального пересчета, если , , , , , .

    

Рис. 1.18.                                                 Рис. 1.19.

Решение.

1. В рассматриваемой цепи зададим ток в одной из удаленных от источника ветвей, например, с сопротивлением , равным  и определим некоторое напряжение источника на входе цепи , при котором  (рис. 1.19)

2. Определим токи  (рис. 1.19)

Напряжение 

.

Ток   равен:  .

Ток   определим как сумму токов  и

.

Напряжение  на сопротивлении

.

Напряжение   между узловыми точками 3 и 4

.

Ток  определим как

.

Ток   на входе цепи определим как сумму токов  и :

.

Напряжение на сопротивлении

.

Напряжение на входе цепи

.

3. Определим коэффициент пересчета как отношение напряжения на входе цепи, заданного по условию  задачи , к найденному при расчетах :

.

4. Действительные токи в ветвях цепи найдем как

,

,

,

,

.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1.6. Определить эквивалентное сопротивление электрической цепи, представленной на рис. 1.20, относительно зажимов 1 и 2, в которой сопротивления  равны .

О т в е т: .

  

Рис. 1.20.                                             Рис. 1.21.

Задача 1.7. Определить эквивалентное сопротивление цепи (рис.1.21) между входными зажимами 1 и 2 при разомкнутом и замкнутом положениях ключа (), если , , , , , .

О т в е т: при разомкнутом ключе ; при замкнутом ключе .

Задача 1.8. Определить токи в ветвях цепи (рис. 1.22), если задано , ,  , , , .

О т в е т:   , , , ,

, .

Задача 1.9. В  схеме  (рис. 1.23)  определить  токи  во  всех  ветвях, если , , , , , .

О т в е т: , , , ,

 , .

           

Рис. 1.22.                                          Рис. 1.23.

Задача 1.10. Определить токи во всех ветвях схемы (рис. 1.24), если задано , ,  , .

О т в е т:   , , , ,

, .

Задача 1.11. В электрической схеме рис. 1.25 определить токи во всех ветвях, если задано , ,  , , .

О т в е т:  ,  , , , , .

             

      Рис. 1.24.                                              Рис. 1.25.

Задача 1.12. Определить показание амперметра для схемы рис. 1.26, если , , , , . Принять .

О т в е т: .

Задача 1.13. Определить показание амперметра для схемы рис. 1.27, если , , , , . Принять .

О т в е т: .

           

Рис. 1.26.                                              Рис. 1.27.

Задача 1.10. Показание амперметра (рис. 1.28), установленного в разветвленной части схемы, составляет . Найти величину источника тока , если , , , . Сопротивление источника считать , амперметра .

О т в е т: .

Задача 1.11. Найти все токи в ветвях цепи, схема которой приведена на рис. 1.29, если , , , , . Принять сопротивление источника .

О т в е т: , , , ,

.

         

      Рис. 1.28.                                              Рис. 1.29.

Задача 1.12. Определить показание амперметра в схеме (рис. 1.30), если , , , , . Принять .

О т в е т: .

Задача 1.13. Методом пропорционального пересчета найти все токи в схеме рис. 1.31, если , , , , , , , . В расчетах принять ток в сопротивлении  равным .

О т в е т: ,  ,  ,  ,  ,  ,  .

  

Рис. 1.30.                                              Рис. 1.31.

2. РАСЧЕТ СЛОЖНЫХ ЦЕПЕЙ С ПОМОЩЬЮ ПРЯМОГО ПРИМЕНЕНИЯ ЗАКОНОВ КИРХГОФА

Законы Кирхгофа лежат в основе расчета сложных цепей содержащих несколько источников энергии. С помощью двух законов Кирхгофа устанавливаются соотношения между токами и ЭДС в ветвях электрической цепи и напряжениями на элементах цепи.

Задача 2.1.

Пользуясь  законами  Кирхгофа, рассчитать  токи в ветвях схемы рис.2.1, если , , , , , , .

Решение.

1. Цепь рис. 2.1 содержит три ветви (), два узла (). Цепь питает два источника ЭДС  и . Источники тока в цепи отсутствуют ().

Выберем произвольно положительные направления токов в ветвях схемы и обозначим их как указано на рис. 2.2.

  

Рис. 2.1.                                                Рис. 2.2.

2. Определим достаточное количество уравнений для расчета цепи по законам Кирхгофа.

По первому закону Кирхгофа:

.

По второму закону Кирхгофа:

.

Достаточное количество уравнений равно трем, что соответствует количеству неизвестных токов, обозначенных в ветвях схемы  как ,  и  (рис. 2.2).

3. Составим систему уравнений по первому и второму закону Кирхгофа. Одно уравнение по первому закону Кирхгофа, например, для узла 1 и два уравнения по второму закону Кирхгофа для двух независимых контуров. Положительные направления обхода контуров соответствуют направлениям,  указанным на рис. 2.2.

для узла 1:           ;

для контура :    ;

для контура :  .

4. После подстановки числовых  значений имеем:

5. Решение системы получим с помощью определителей:

;  ;  ,

где– главный определитель системы, , ,  – алгебраические дополнения.

Главный определитель системы равен:

        .

Дополнительные определители равны:

     ;

   ;

.

6. Токи в ветвях:

;     ;  .

Задача 2.2.

Рассчитать с использованием законов Кирхгофа токи в ветвях схемы изображенной на рис. 2.3, если известны , , , , , . Выполнить правильность расчета цепи путем проверки баланса мощностей.