Расчет линейной цепи с несинусоидальными периодическими источниками

L. 450. «Электротехника»                                                                                   Аксютин В.А.

Расчет линейной цепи

с несинусоидальными периодическими источниками.

Традиционная постановка задачи расчёта цепей несинусоидального тока: по заданным несинусоидальным ЭДС и параметрам R – L – C элементов необходимо рассчитать мгновенные  i(t) и  действующие I  значения токов, определить  P, Q, S  цепи.

Расчёт выполняется в три этапа:

1.  Представление заданного несинусоидального напряжения в виде набора гармоник рядом Фурье. Разложение в ряд Фурье проводится: аналитически по интегральным соотношениям; численными или экспериментальными методами.

2.  Расчёт цепи проводится методом наложения отдельно для каждой из гармоник.

·  Расчёт для нулевой гармоники выполняется также как для цепей постоянного тока. Для нулевой гармоники k = 0  X= 0 wL = 0, X.

·  Расчёт цепи для основной и высших гармоник проводится, как для линейной цепи синусоидального тока символическим методом. Особенностью расчётов является то, что реактивные сопротивления X_L  и  X_C  для разных гармоник будут различны:

X= kwL = k x,                        X           (1)

3.  Запись результирующих мгновенных значений i(t), u(t) и построение графиков. Определение постоянных составляющих, действующих значений, показания приборов, а также коэффициентов, характеризующих несинусоидальные функции: К_А, К_Ф, К_И и К_Г.

Пример 1.

 

а                                                                                                         б

Рис. 1

На вход схемы рис. 1а  подключён источник пилообразного напряжения u₁(t) (рис. 1б): U_m =10 В.   T = 2t₀ = 10^–3с.

R=100 Ом,      L=0.005 Гн,      C₁=0.5 мкФ,   C₂=1.0 мкФ.

1. Определить мгновенные значения входного тока i₁(t) и выходного напряжения u₂(t); построить графики u₁(t), u₂(t) и i₁(t) по 1, 3 и 5 гармоникам.

2. Определить показания вольтметра и амперметра электромагнитной системы. Для входного и выходного напряжения определить коэффициенты К_А, К_Ф, К_И и К_Г.

Решение

1.       Представим заданное несинусоидальное напряжения u(t) рис. 1б в виде набора гармоник ряда Фурье. (раздел l 410, табл. 1). Ограничимся  1, 3 и 5 гармониками.

u₁(t) = sin(k ω t)                                                                                                       (2)

Подставив исходные данные в (2) получим гармонический ряд

u₁(t) = 8.11 sin(ωt) – 0.901 sin(3ωt) + 0.324 sin(5ωt). (В).

Графики составляющих ряда и результирующая кривая показана на рис.2:

 

Рис. 2

2.       Расчёт цепи символическим методом по 1, 3 и 5  гармоникам.

 

Рис. 3

Составим схему замещения цепи в комплексном виде для расчёта действующих значений токов и напряжений k – й гармоники (рис. 3).

Угловая частота - w = 2π ∕ T =2π ∕ 10^–3  = 6.28 10⁺³ =6280 рад/с.

Реактивные сопротивления для k – й гармоники (1):

X= kwL = k X,         X =       X

Формулы для расчётов комплексных амплитуд токов и напряжений для k – й гармоники:

Z = ;                           = ;

 = Z;                           = ;        = .

2.1.    Первая гармоника k=1.

Реактивные сопротивления

x= wL = 31.4 Ом,        x = 318 Ом,       x = 159 Ом,

Z = j 39.1 Ом;

 =          0.00921 + j 0.026 =               0.027Ð70.3º A.

 =        − 1.007 + j 0.361 =                 1.07Ð160.3º В.

 =         0.011 + j 0.032 =                    0.034Ð70.3º A.

 =         − 0.00227 − j 0.00633 =     0.00672Ð−109.7º A.

2.2. Третья гармоника k=3.

X= 3wL = 3 x=94.2 Ом;                X=106 Ом;

X=53 Ом;

Z =  −j 121 Ом;

 =         0.00146 + j 0.00332 =             0.00383Ð66.3º A.

 =        +0.403 − j 0.177 =                       0.44Ð−23.7º В.

 =         −0.00188 − j 0.00427 =              0.00457Ð−114º A.

 =         0.00334 + j 0.00759 =             0.00829Ð+66.3º A.

2.2. Пятая гармоника k=5.

x= 5wL = 5 x= 157 Ом;                       X=63.6 Ом;

X = 31.8 Ом;

Z = −j 39.9 Ом;

 =         0.00156 − j 0.00162 =               0.00225Ð46º A.

 =        0.065 + j 0.062 =                         0.09Ð−44º В.

 =         −0.0004 + j 0.00041 =                0.00057Ð−134º A.

 =         0.00196 + j 0.00203 =             0.00282Ð46º A.

3.  Расчёт итоговых параметров.

3.1.  Построение результирующих кривых мгновенных значений:

Ÿ  -входного тока   i₁(t) (рис. 4):

i1

i₁(t) = 0.027 sin(ωt+70.3º) – 0.00383 sin[3(ωt+66.3º)]+ 0.00225 sin[5(ωt+46º)]. (A).

 

Рис. 4

Ÿ   выходного напряжения u₂(t) (рис. 4):

u₂(t) = 1.07 sin(ωt+160.3º) – 0.44 sin[3(ωt−23.7º)]+ 0.09 sin[5(ωt−44º)]. (В).

		c

 

Рис. 5

3.2.  Определение действующих значений и показание вольтметра и амперметра электромагнитной системы.

I = I/√2 = 0.027/√2 = 0.0191 A;

I = I/√2 = 0.00383 /√2 =0.00271 A;

I = I/√2 = 0.00225 /√2 = 0.00159 A;

I₁ =  = 0.02 A.

U = U/√2 = 1.07/√2 = 0.757 B;

U = U/√2 = 0.44 /√2 = 0.311 B;

U = U/√2 = 0.09 /√2 = 0.0636 B;

U₂ =  = 0.82 B

3.3.  Определение коэффициенты К_А, К_Ф, К_И и К_Г для выходного напряжения.

U_{2 ср по mod}    = (U+ U+ U)/1.11=1.02 В

          формы                  K_Ф =  =  = 0.804;

          амплитуды           K_A =  =  = 1.3;

          искажения            K_И =  =  = 0.923;

          гармоник              K_Г =  = = 0.419.

Пример 2.

 

а                                                               б

Рис. 6

На вход схемы рис. 6,а  подключён источник импульсной ЭДС

e(t) (рис. 6б): E_m =100 В.          T = 2t₀ = 10^–2с.

R₁ = 50 Ом,   R₂ = 20 Ом, L₁ = 0.2 Гн,   L₂ = 0.1 Гн,   M = 0.1Гн,

C₂ = 50 мкФ.

Определить показания ваттметра электродинамической системы и амперметра электромагнитной системы.

Решение

1.       Представим заданное несинусоидальное напряжения u(t) рис. 6б в виде набора гармоник ряда Фурье (раздел l 410, табл. 1). Ограничимся 0, 1, 3 и 5 гармониками.

e(t) =sin(kwt)= 50+ sin(kwt)                                                                                                                                            (10)

e(t) = 50 + 63.7 sin(wt) +21.2 sin(3wt)+ 12.7 sin(5wt)

E⁰ = 50 B – постоянная составляющая;

E^(k) =  =  – действующее значение ЭДС k – й гармоники.

w = 2π ∕ T =2π ∕ 10^–3  = 628 рад/с. – угловая частота основной гармоники.

2.       Расчёт цепи символическим методом по 0, 1, 3 и 5  гармоникам.

 

а                                                               б

Рис. 7

2.1.Нулевая гармоника k=0.

Составим схему замещения цепи для расчёта токов по нулевой гармонике (рис. 7,а). Определим ток и мощность по первой гармонике:

= =  = 1 A

= = E⁰ = 50 1 =50 Вт

2.2.    Гармоники k=1, 3, 5.

2.2.1.- Составим схему замещения цепи в комплексном виде для расчёта действующих значений токов и мощностей гармоник (рис. 7,б).

2.2.2.- Определим параметры схемы:

Ÿ  Комплекс действующего значения ЭДС k – й гармоники:

 = Ð0º B

Ÿ  Реактивные сопротивления

─ для первой гармоники (1):

X   = w L₁ =314 * 0.2 = 62.8 Ом.

X,    = w L₂ =314 * 0.1 = 31.4 Ом.

X   = w M =314 * 0.1 = 31.4 Ом;

X = 1/(314 * 50* 10^-6 )= 63.7 Ом.

─ для k – й гармоники:

X= k wL₁ = k X = k 62.8,          X= k wL₂ = k X = k 31.4,

X= k wМ = k X = k 31.4,          X =  =  = .

2.2.3.- Составим формулы для расчётов комплексных токов и мощностей по k – й гармонике:

Расчёт токов по законам Кирхгофа

 (R₁+ j X) −  j X, = 

− j X +  (R₂+j X − j X) =  0

Запишем эту систему в матричной форме

R1+ j X	−j X	´		=
−j X	R2+j X − j XС				0

50+ j k 62.8	−j k 31.4	´		=
−j k 31.4	20+j k 31.4 − j				0

Δ^(k) = (50+ j k 62.8) (20+j k 31.4 − j ) – (−j k 31.4 ) (−j k 31.4 ) =

= (5000 − 986 k²) + j(2826 k − )

Δ=  (20+j k 31.4 − j ) = +j (1413 − )

Δ = −  ( − j k 31.4) = j 1413

2.2.4.  Первая гармоника k=1.

 =  =  =

= 0.254-j 0.34 = 0.423Ð-53° A

 =  =  =

= -0.031+j0.349= 0.35Ð95.1° A.

2.2.5  Третья гармоника k=3.

 =  =  =

= 0.0993-j 0.00923 = 0.136Ð-43° A

 =  = =  =

= 0.15-j0.0782= 0.169Ð-27.5° A.

2.2.6.  Пятая гармоника k=5.

 =  =  =

= 0.0246-j 0.0492 = 0.055Ð-63.4° A

 =  = =

= 0.0336-j0.0489= 0.0593Ð55.5° A.

3. Mмгновенные значения токов i₁(t) и i₂(t).

i₁(t) = 1 + 0.423√2 sin(wt-53º) + 0.136√2sin[3(wt-43°)]+ 0.055√2sin[5(wt-63°)]A.

i₂(t) =0.35√2 sin(wt+95º) + 0.169√2 sin[3(wt-27.5°)]+ 0.0593√2sin[5(wt+55.5°)]A.

4. Показание амперметра A₂.

АмперметрA₂ показывают действующие значения тока:

I _А2 =  =  = 0.393 А.

5.. Показание ваттметра.

P_W=+++=

 = E⁰ +  cos(0-) +  cos(0-)+  cos(0-) =

 = 50+ 45´0.423 cos(53) + 15´0.136 cos(43) + 9´0.055 cos(63) =

 = 50 + 20.5 + 1.49 + 0.22 = 72.2 Bт

Пример 3.

На вход схемы рис. рис. 8 подаётся напряжение: =10+5 sin(1000t)+2 sin(5000t)В.

Параметры: R=1 кОм, L=0.04 Гн.

Найти значения C1 и C2., которые обеспечивают напряжения на выходе:

=5sin(1000t) В.

Рис. 8

Решение

Схема рис. 8 представляет частотный фильтр, пропускающий в нагрузку сигнал частоты первой гармоники и задерживающий постоянную составляющую и сигнал пятой гармоники.

1. Постоянная составляющая не поступается в нагрузку конденсатором C₁

2. Если настроить параллельный контур L/С₂ в резонанс токов на пятой гармонике, то сопротивление контура будет равно бесконечности и в нагрузке напряжение пятой гармоники будет отсутствовать. Из этого условия можно определить величину ёмкости С₂

X   = w L =1000 * 0.04 = 40 Ом.

;                                                                                                               ;

Ом

С₂ =  =  10^-6Ф = 1 мкФ

3. Если настроить фильтр С₁, L/С₂ в резонанс напряжений на первой гармонике, то сопротивление контура будет равно нулю и в нагрузку напряжение первой гармоники будет передаваться полностью. Из этого условия можно определить величину ёмкости С₁:

Ом

С₁ =  =  = 24 10^-6Ф = 24 мкФ.