Неперервність і точки розриву функції. Диференціальне числення функції однієї змінної (Теоретичний матеріал та контрольні завдання зі зразками вирішення з вищої математики), страница 2

е)                           ж)

6. а)          б)              в)

Варіант 11.

1.            2.                3.

4. а)               б)           в)

5. а)             б)                 в)

г)                      д)

е)                                    ж)

6. а)                 б)                        в)

Варіант 12.

1.                 2.                  3.

4. а)              б)                   в)

5. а)                         б)        в)

г)                    д)

е)                          ж)

6. а)                  б)             в)

Варіант 13.

1.    2.    3.

4. а)                  б)            в)

5. а)                            б)           в)

г)               д)

е)                         ж)

6. а)                  б)             в)

Варіант 14.

1.       2.       3.

4. а)                    б)         в)

5. а)                          б)             в)

г)        д)

е)                         ж)

6. а)                   б)             в)

Варіант 15.

1.               2.           3.

4. а)                       б)         в)

5. а)                         б)         в)

г)                              д)

е)                                             ж)

6. а)                   б)              в)

Варіант 16.

1.             2.           3.

4. а)                     б)            в)

5. а)                     б)       в)

г)                   д)

е)                                      ж)

6. а)                  б)                в)

Варіант 17.

1.                2.     3.

4. а)              б)                    в)

5. а)            б)            в)

г)                          д)

е)                          ж)

6. а)                  б)                в)

Варіант 18.

1.                  2.       3.

4. а)                б)            в)

5. а)           б)            в)

г)                      д)

е)                             ж)

6. а)                    б)              в)

Варіант 19.

1.                 2.                 3.

4. а)             б)          в)

5.а)             б)         

   в)

г)                    д)

е)                           ж)

6. а)                    б)               в)

Варіант 20.

1.      2.      3.

4. а)                б)          в)

5. а)                  б)                     в)

г)                                 д)

е)                                   ж)

6. а)                    б)             в)

Варіант 21.

1.           2.              3.

4. а)                 б)              в)

5. а)          б)              в)

г)                 д)

е)                         ж)

6. а)                    б)              в)

Варіант 22.

1.            2.           3.

4. а)     б)       в)                 

5. а)                  б)           в)

г)                    д)

е)                 ж)

6. а)                б)                   в)

Варіант 23.

1.         2.     3.

4. а)              б)         в)

5. а)                  б)           в)

г)              д)

е)                         ж)

6. а)                  б)               в)

Варіант 24.

1.              2.                   3.

4. а)           б)           в)

5. а)                б)                     в)

г)           д)

е)                    ж)

6. а)               б)                в)

Варіант 25.

1.          2.     3.

4. а)              б)           в)

5. а)               б)         в)

г)          д)

е)                        ж)

6. а)               б)              в)

Глава ІІ. Диференціальне числення

функції однієї змінної

2.1 Загальні поняття та означення. Таблиця похідних

Означення 1. Похідною функцією y=f(x) в точці х називається границя (якщо вона існує) відношення приросту функції

Dy=f(x+Dx)-f(x)

до приросту аргументу Dx, коли приріст аргументу прямує до нуля, тобто

       (1)

Означення 2. Функція, яка має скінчену похідну в точці х, називається диференційовною в цій точці.

Приклад. Знайти похідну функції f(x)=x³ в довільній точці х за означенням.

Розв’язання

Так можна одержати похідну від усіх основних елементарних функцій і записати їх в таблицю.

Таблиця похідних

1.                 

2.           

3.                

4.       

5.     

6.       

7.     

8.                   де

9.      

10.           

11.                 

Знаходження похідної називають диференціюванням функції.

2.2 Правила диференціювання

1.  де

2. , де u(x) і  v(x)- диференційовані функції

3. ,

4.                  

5.           

Це правило називають правилом диференційовання складної функції:

Похідна складної функції дорівнює добутку похідних зовнішньої і внутрішньої функції.

Виходячи з цього, можна переписати таблицю похідних:

                     т. ін.

6.  Якщо функція у(х) подана неявно рівнянням

 (1),  знаходиться почленним диференціюванням рівняння (1).

Приклади. 1) Знайти , якщо

2) Знайти , якщо

Розв’язання

Візьмемо похідну в лівої і правої частини рівняння.

Дістанемо

Аналогічно знаходиться похідна функція х(у) поданої неявно:

Тобто маємо   або

Похідні прямої та оберненої функції зв’язані співвідношенням .

7.  Якщо функція у(х) подана параметрично рівняннями    то

Аналогічно знаходиться

Приклад. 3) Знайти  якщо

Розв’язання.

    

8.  Логарифмічне диференціювання.

Це є так званий штучний прийом диференціювання показниково – степеневої функції y=u^v, де и=и(х)>0, v=v(x)- диференційовні функції.

По-перше, за правилом логарифмування показникової функції маємо:

По-друге, за правилом диференціювання складної функції маємо:

Таким чином, остаточно маємо

 або

Тобто, похідна показниково – степеневої функції дорівнює сумі двох додатків, перший з яких є похідна показникової функції, другий – похідна степеневої функції.

Зауваження Цей прийом можна застосовувати для знаходження похідної від громіздких добутків, частків, степенів і тощо.

Приклади 4) Знайти  якщо

Розв’язання.

Прологарифмуємо функцію:

Знайдемо похідну від лівої та правої частини