Метод квадратного корня для решения системы линейных алгебраических уравнений

16.Метод квадратного корня

Этот метод используется для решения систем линейных алгебраических уравнений с эрмитовой невырожденной матрицей . Матрица  называется эрмитовой, если она совпадает со своей комплексно-сопряженной транспонированной матрицей, т.е. . Среди прямых методов этот метод является самым быстродействующим и особенно удобен для решения систем уравнений с ленточной матрицей, у которой  при , где . Будем искать разложение действительной матрицы  системы (4.1) в виде ,(4.14) где ,

 - диагональная матрица с элементами . После перемножения матриц получаем

, ,

, .

Потребуем, чтобы элементы  были положительными числами. Тогда получим

(4.15)

Таким образом, разложение (4.14) существует и определяется формулами (2.15). Тогда решение системы (4.1) сводится к решению двух систем с треугольными матрицами , .

Первая система имеет вид

и ее решение находится по формулам , , .

Вторая система

 дает решение исходной системы (4.1), , .

Если матрица  является положительно определенной (все главные миноры положительны), то  и . Формулы разложения имеют в этом случае вид

Для решения системы линейных алгебраических уравнений с вещественной матрицей порядка  методом квадратного корня необходимо выполнить  операций умножения и деления и  извлечений квадратного корня