Цифровая обработка сигналов на основе компьютеризации

Доминирующей тенденцией развития современного приборостроения является широкое внедрение цифровой обработки сигналов на основе компьютеризации. При этом существует два направления: одно из них основано на использовании микропроцессоров в составе цифровых измерительных средств (ЦИС), а другое направление связано с созданием так называемых компьютерных измерительных устройств, которые представляют сочетание персонального компьютера с разнообразными типовыми платами, размещаемые в его корпусе в специально отведенных посадочных местах. Применение таких ЦИС обусловлено тем что в них значительно сокращают или исключают полностью аналоговые функциональные операции над сигналами, заменяя их цифровой обработкой кодов мгновенных значений сигналов, получаемых с помощью АЦП.

Обобщенная математическая модель цифровой обработки сигналов (ЦОС) имеет следующий вид:

,        (1)

где У – результат измерения;

x(t) – вектор (совокупность) входных сигналов ЦИС;

a – вектор параметров ЦИС, определяющих алгоритмы обработки;

Т – время измерения;

k – коэффициент передачи ЦИС.

Функция f[x(t),a] полностью описывает все основные алгоритмы, назовем ее алгоритмической (АФ).

ЦОС приводит к методическим погрешностям дискретизации и квантования, к которым добавляются различного рода инструментальные погрешности, в том числе вносимые помехами. Поэтому результат измерения на выходе ЦИС отличается от точного значения Y может  быть записан в виде

          (2)

где n – число отсчетов мгновенных значений сигнала x(t);

 – значения алгоритмической функции  в точках отсчета , искаженные помехами и погрешностями (реальная алгоритмическая функция);

– вектор погрешностей (кроме погрешности дискретизации), а также различного рода помех в точках отсчета .

Реальная обобщенная модель ЦОС, определяемая формулой (2), используется для оценки погрешностей ЦИС, которые сведены в четыре группы: погрешности дискретизации (за счет перехода от точной формулы (1) к приближенной формуле (2) – формуле прямоугольников); погрешность квантования АЦП; динамические погрешности (обусловленные инерционностью входных цепей ЦИС и смещением точек дискретизации , а также апертурная погрешность, или погрешность датирования); погрешности, вносимые помехами, в том числе инструментальными погрешностями.

В общем случае результирующая погрешность ЦИС может сложно  зависеть от отдельных составляющих, однако применительно к средствам измерительной техники (СИТ), задача оценки этой погрешности значительно упрощается. Любое СИТ выполняется так, чтобы его абсолютная погрешность

(3)

была мала по сравнению с измеряемой величиной Y. Это означает, что и отдельные составляющие погрешности должны быть малы. Если к тому же различные составляющие независимы, то имеет место принцип суперпозиции погрешностей, состоящие в том, что результирующая погрешность есть сумма отдельных составляющих, каждая из которых может вычисляться при условии отсутствия остальных составляющих, то есть предполагается их равенство нулю.

Подставляя в формулу (3) выражения (1) и (2), имеем

,

где  при , то есть идеальная  и реальная  АФ равны в отсутствие помех (и погрешностей) исключая погрешность дискретизации, которая в реальной АФ не учитывается. Погрешность дискретизации является специфичной, и для ее оценки могут быть использованы временной метод, спектральный метод и метод, основанный на коэффициенте гармоник. Применение теоремы Котельника для ЦОС в измерительной технике неприемлемо, так как она не позволяет оценить погрешность дискретизации. Представим остальные погрешности в виде

.

Используя допущения о малости всех составляющих погрешности ЦИС, реальную АФ  можно разложить в ряд Тейлора и сохранить в нем только члены наинизшего порядка, приводящее в дальнейшем к ненулевой оценке погрешности. Члены ряда более высокого порядка будут равны по сравнению с указанными, если не попадает в окрестность особой точки АФ. Учет членов ряда более высокого порядка не имеет смысла, так как при малых погрешностях он приводит только к такому незначительному уточнению погрешности ЦИС, которая лежит за пределами потребностей практики.

Если к ненулевой оценки погрешности приводят члены разложения первого порядка малости, то для оценки погрешности  получим

(4)

где ;

j – порядковый номер составляющей погрешности ЦИС;

– значения отдельных составляющих погрешности ЦИС в точках отсчета ;

– значения производных реальной АФ по составляющим погрешности в точках отсчета , вычисленных при .

Формула (4) представляет собой запись принципа суперпозиции погрешностей .

Ее математическое ожидание, представляющее систематическую составляющую погрешности , в общем виде определяется соотношением

,

где скобки означают усреднение по ансамблю случайные величин.

Если математическое ожидание составляющей погрешности не коррелированной с сигналом и имеющей равное нулю математическое ожидание , в первом порядке малости =0, то в разложением в ряд Тейлора АФ следует учесть члены второго порядка малости, обусловленные произведением перекрестных членов ряда. Тогда

;   (5)

.          (6)

Используя формулу (4), найдем дисперсию погрешности :

      (7)

где  – разности между значением погрешности и ее математическим ожиданием.

Варианты погрешностей

1.  Если составляющие погрешностей ЦИС некоррелированы с измерительным сигналом  и между собой, что характерно для погрешностей различного происхождения, то из выражений (5)-(7) имеем

, (8)

где ;          (9)

                    (10)

(здесь  – матрица корреляций между i-й составляющей погрешности в момент и r-й составляющей погрешности в момент отсчета ).

При условии, что различные составляющие погрешности не коррелированны, из выражения (10) получим

где ;           (12)

.

Если погрешности в разных точках отсчета не коррелированны, то

Тогда из формулы (12) для дисперсии погрешности имеем

.         (13)

Как видно из соотношений (8), (11), для данного варианта имеет место «принцип суперпозиции» для математических ожиданий и дисперсий погрешностей.

2.  Если погрешность представляет стационарный случайный процесс, то выражения (9), (13) принимают вид

;

.

где  – дисперсия (соответственно – СКО) j-й составляющей погрешности.

Если значения погрешностей в точках отсчета образуют стационарную последовательность, то .

При этом возможно спектральное представление погрешности, если выразить корреляционную матрицу  через спектральную плотность погрешности в соответствии с теоремой Хинчина-Винера:

.

Тогда для дисперсии погрешности из выражения (10) получим

(14)

где ;

;

*– знак комплексного сопряжения.

Если отдельные составляющие погрешности не коррелированны, то для дисперсии погрешности справедливо соотношение (11), при этом формула (14) имеет вид

,

где – спектральная плотность j-й составляющей.

Приведенные выше соотношения позволяет вычислить статистические оценки погрешностей – математическое ожидание и дисперсию для всех алгоритмах ЦОС. При вычислении дисперсии можно пользоваться либо временным, либо спектральным преставлением. Спектральный метод может оказаться более удобным, в особенности при исследовании влияния внешних помех, так как он позволяет более наглядно и четко выделить частотный диапазон помех, приводящий к наиболее слабой помехоустойчивости данного алгоритма ЦОС, и исследовать погрешности именно в этом диапазоне. С другой стороны, из экспериментальных данных можно получить матрицу корреляций погрешности. В этом случае возможно два пути. Один из них состоит в переходе от корреляционных функций, заданных аналитически или графически, к спектральной плотности, а другой путь – в непосредственном использовании формул статистических оценок, содержащих матрицы корреляции погрешностей. По объему вычислений временной (корреляционный) и спектральный методы отличаются несущественно.

[Чинков В.Н. Цифровая обработка сигналов в измерительной технике: Методические основы оценки погрешностей// Украiнський метрологiчний журнал.–2000.–Вип 4.–стр. 18-21].