Метод множителей Лагранжа применяют при решении задач такой же сложности, как и при использовании классических методов исследования функций, но при наличии ограничений типа равенств на независимые переменные. При этом к условию получения аналитических выражений для производных от целевой функции добавляется аналогичное условие относительно аналитического вида уравнений ограничений.
Градиентные методы могут применяться при относительно сложном виде целевой функции, когда вместо численного решения системы уравнений оказывается удобнее использовать итерационную процедуру пошагового приближения к оптимальному решению. Кроме того, градиентные методы можно использовать, если невозможно получить аналитические выражения для производных целевой функции, и в случае, когда аналитическое выражение самой целевой функции отсутствует, а ее значения получают путем расчета по алгоритму или непосредственным измерением на технологическом процессе. Градиентные методы наиболее легко реализуются в алгоритмах процессов управления.
Метод вариационного исчисления применяют для решения задач, в которых целевые функции представляются в виде функционалов, решениями которых служат неизвестные функции. Такие задачи возникают при статической оптимизации процессов с распределенными параметрами или в задачах динамической оптимизации.
Линейное программирование применяют для решения оптимизационных задач с линейными выражениями для целевой функции и линейными ограничениями на область изменения переменных. Эти задачи возникают при оптимальном планировании производства с ограниченным количеством ресурсов.
Динамическое программирование - эффективный метод решения задач оптимизации дискретных многостадийных процессов, для которых целевая функция представляется в виде суммы целевых функций отдельных стадий (аддитивная целевая функция). Закон управления на каждой стадии находится путем решения частных задач оптимизации последовательно для всех стадий процесса. Результаты решения, как правило, не могут быть выражены в аналитической форме, а получаются в виде таблиц.
Принцип максимума применяют для оптимизации процессов, описываемых системами дифференциальных уравнений. Нахождение оптимального решения сводится к задаче интегрирования системы дифференциальных уравнений процесса, при граничных условиях, заданных на обоих концах интервала интегрирования, т.е. к решению краевой задачи.
Методы нелинейного программирования используют для решения оптимизационных задач с нелинейными целевыми функциями. На независимые переменные могут быть наложены ограничения в виде нелинейных соотношений, которые имеют вид равенств или неравенств. Методы нелинейного программирования объединяют большую группу численных методов, каждый из которых приспособлен для решения задач соответствующего класса. Выбор того или иного метода определяется сложностью вычисления целевой функции и сложностью ограничивающих условий, необходимой точностью решения, производительностью имеющихся средств вычислительной техники и т.п. Методы нелинейного программирования применяются, когда ни один из перечисленных выше методов не удается использовать для решения поставленной задачи.
Если поставленная задача из-за характера целевой функции, ограничений или большой размерности (большое число переменных) настолько сложна, что не может быть впрямую решена ни одним из приведенных методов, то применяют декомпозицию задачи, т.е. разбиение ее на совокупность более простых задач. Это легко делать, если имеем аддитивную целевую функцию или функцию, которую путем некоторых допущений можно представить аддитивной функцией вида
В этом случае поиск максимума или минимума целевой функции F(x) вектора аргумента x сводится к поиску максимума или минимума каждой из составляющих функций Fi(x), что облегчает решение задачи.
Решение оптимизационных задач также упрощается, если их удается разбить на такие подзадачи, что решение первой из них может быть выполнено независимо от остальных, затем находится решение второй подзадачи и т.д. (по аналогии с решением системы уравнений).
Необходимость решать задачу большой размерности обычно связана с тем, что оптимальное значение одной из переменных решения зависит от значений других переменных. Такая зависимость может быть обусловлена структурой целевой функции или ограничений или и того и другого. Если причиной связи оптимальных значений отдельных переменных являются некоторые ограничения, то ингда удается свести исходную задачу к другой задаче, в которой отсутствуют эти связывающие условия. При этом вновь полученная задача распадается на ряд задач меньшей размерности.
Заключение.
Таким образом, разработка алгоритмов работы системы управления ТП и решение задач оптимального управления процессом производства требует от инженера-разработчика глубокого изучения процесса производства, знания методов решения оптимизационных задач, умений логического мышления и творческого подхода к поставленной задаче.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.