Другие предметы \ Системы автоматического управления

Расчет одноконтурных систем автоматического регулирования, страница 3

Коэффициенты находим по методу наименьших квадратов. Для этого необходимо, чтобы:

. (1.4)

Взяв частные производные и приняв их равными нулю, получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными, решив которую получаем следующее:

; (1.5)

. (1.6)

;

Уравнение касательной имеет вид: .

Определяем координаты точки пересечения касательной с осью абсцисс и асимптотой из уравнений:

(1.7)

где у()=3,1481 – установившееся значение, взятое из графика разгонной характеристики. Отсюда:

; ;

; (1.8)

Вычислив значения t₁, t₂ и t₃ получаем:

; (1.9)

Аппроксимируя зависимость от получаем:

; (1.10)

Из (1.9) видно, что , следовательно, составляем систему из двух уравнений относительно неизвестных Т₁ и Т₂, решив которые получаем:

, . (1.11)

; .

Недостающие параметры двухёмкостного объекта определяем из кривой разгона:

, (1.12)

где - коэффициент усиления;

y= 2,2486 – численное значение отрезка, отсекаемого на оси ординат асимптотой к кривой разгона;

– величина скачка входного параметра.

Зная параметры двухёмкостного объекта, определяем передаточные характеристики данного объекта, передаточная функция будет иметь следующий вид (где ):

; (1.13)

Рисунок 1.1 – Переходная (разгонная) характеристика

Рисунок 1.2 – Весовая характеристика

Рисунок 1.3 – ЛАЧХ и ЛФЧХ

Рисунок 1.4 – Годограф Найквиста

Рисунок 1.5 – Расположение на комплексной плоскости нулей и единиц

2 Расчёт настроек ПИ- и ПИД- регуляторов в одноконтурных АСР

2.1 Расчёт параметров настройки ПИ-регулятора методом расширенных частотных характеристик

Выражения передаточных функций W(p) звеньев или систем регулирования, для которых наложено ограничение , называются расширенными амплитудно-фазными характеристиками и обозначаются .

Таким образом, для расчёта системы регулирования на заданную степень затухания необходимо располагать расширенными амплитудно-фазными характеристиками объекта и регулятора. Так же, как и при расчёте устойчивости исходным условием является соотношение:

. (2.1)

Итак, с помощью расширенных частотных характеристик можно рассчитать систему регулирования на заданную степень затухания, то есть построить в плоскости параметров настройки регулятора линию равной степени затухания или колебательности.

Степень колебательности берём (по заданию) равной: .

, (2.2)

где .

Чтобы построить расширенные частотные характеристики необходимо оператор р заменить и подставить в рассчитанную ранее передаточную функцию (1.13):

, где ; (2.3)

; (2.4)

;

Для упрощения подставим в выражение (2.4) значение колебательности :

;

Представим передаточную функцию в виде комплексного числа:

, (2.5)

где

и . (2.6)

;

Окончательные значения и для объекта:

;

Исходя из условия (2.1), имеем:

, . (2.7)

;

Рассчитаем параметры ПИ-регулятора и вручную для двух значений и , для остальных точки рассчитаем на ЭВМ. Для расчёта параметров ПИ-регулятора и воспользуемся готовыми формулами:

(2.8)

Для :

;

тогда

Для :

;

тогда

Программа для расчёта настроек ПИ-регулятора на языке Matlab:

function Max_Variant_13

n=0; w=0.001; m=0.221;

while n<=1000

p=(-m+1i)*(w*n);

n=n+1;

A=4.7966*exp(-p*5.17)/(35.963*p*p+13.853*p+1);

A0=1/A;

C0(n)=(w*n)*(m^2+1)*imag(A0);

C1(n)=m*imag(A0)-real(A0);

disp([n*w,C0(n),C1(n)]);

if C0(n)<0 n=1001;end

end

plot(C1,C0);

grid;

Возьмём несколько точек, лежащих на кривой равной степени затухания (рисунок 2.1) и посмотрим как будет изменятся процесс регулирования. Для этой цели будем использовать пакет MATLAB.

Таблица 2.1 – Выбранные точки на кривой равной степени затухания

Точка 1	Точка 2	Точка 3	Точка 4	Точка 5	Точка 6
w₁= 0,0560	w₂= 0,0860	w₃= 0,1320	w₄= 0,1710	w₅= 0,1830	w₆= 0,1920
С₀= 0,0102	С₀= 0,020	С₀= 0,03	С₀= 0,0252	С₀= 0,0201	С₀= 0,0150
С₁= -0,0591	С₁= 0,0502	С₁= 0,2197	С₁= 0,3374	С₁= 0,3649	С₁= 0,3823