Вопросы по МОСУ, гр. 24-1, 24-2. 2001 г.
1. Подобие в общем случае
Подобие – полная математическая аналогия, при наличии пропорциональности между сходственными переменными. Неизменно сохраняющаяся при всех возможных значениях этих переменных, удовлетворяющих сходственному уравнению.
Подобию, во всех его видах, свойственны некоторые общие закономерности, которые носят название 1-й и 2-й теоремы подобия. Обе теоремы устанавливают соотношение между параметрами подобных явлений, не называя способов реализации подобия при построении модели. Ответ на последний вопрос дает 3-я теорема (обратная).
1-я теорема подобия - Если явления подобны, или физически или математически или в каком либо другом смысле, то всегда из их параметров можно составить такие сочетания, что они будут одинаковыми для обоих подобных явлений.
Из определения следует: из параметров подобных явления всегда можно составить такие сочетания, что их отношения будут равны единице.
Безразмерные сочетания параметров числено одинаковых для подобных явлений носят название критерия подобия.
2-я теорема подобия - Всякое полное уравнение физического процесса, записанное в определенной системе единиц, может быть представлена зависимостью между критериями подобия. Т.е. полное уравнение физического процесса может быть представлена уравнением связывающим безразмерные величины, полученных из параметров участвующих в процессе.
3-я теорема подобия - Для подобия - явления, определенным критерием подобия, должны быть соответственно одинаковы, а условия однозначны и подобны.
2. Исходные данные, необходимые для подобного моделирования
Для создания подобного объекта моделирования необходимо располагать исходными данными:
А) Математическое описание оригинала
Б) Пределы фигурирования в математическом ожидании переменной величины
В) Условия однозначного решения в уравнении описания оригинала
Г) Функциональная зависимость для независимых переменных, если таковые есть в уравнении
3. Этапы подобного моделирования
Процесс подобного моделирования можно разделить на 8 этапов:
А) Создание или вырабатывание из уже существующего объекта моделирования математического ожидания
Б) Определение критерия подобия для оригинала и подобия – По, Пн
В) Составление масштабного уравнения
Г) Ввод масштабных сходственных переменных и масштабному уравнению критериальной формы придается окончательный вид
Д) Анализ системы масштабных уравнений, при этом устанавливается противоречивость системы этих уравнений, при которой если она есть – подобное моделирование невозможно
Е) Выбирается конкретное численное значение масштабов с учетом предварительных значений сходственных уравнений
Ж) Определяется условие однозначности модели, подобных условию однозначности оригинала
И) Рассчитывается функциональная зависимость для модели и оригинала
4. Формулирование ПИ – теоремы
5. Пример физического подобия моделирования
6. Описательная модель (содержательное описание процесса)
Описательная модели – содержит описание процесса в словесном выражении концентрируя сведенья о физической природе и количественных характеристиках элементарных явлений исследуемого процесса; о степени и характере взаимодействия между ними, о месте и значении каждого элементарного явления, в процессе функционирования системы.
Кроме сведенной характеристики процесса в содержание описательной модели включается:
- формулирование цели исследования
- постановка задачи
- перечень искомых величин с указанием их предназначения и требование точности их определения
- перечень зависимостей подлежащих к оценки по результатам моделирования
- перечень факторов которые должны быть учитаны при построении модели математической модели
- численное значение известных характеристик и параметров процесса
- значения начальных условий
7. Формализованная схема процесса
- можно определить, как звено при переходе от содержательного к чисто форматизированному описанию процесса с учетом воздействия внешней среды.
В случае если сведений находящихся в описательной модели недостаточно именно на этом этапе необходимо произвести дополнительной исследование и наблюдение. При разработке формализованной схемы в первую очередь должен быть решен вопрос об адекватности отображаемого процесса происходящего в системе, а не от возможности получения результатов решения.
8. Математическое (аналитическая или (и) имитационная модель) описание
Для преобразования формализованного описания в математическую модель в зависимости от того, аналитическую, имитационную или комбинированную модель, которую мы создаем, необходимо:
А) Математической аналитической модели:
- записать в аналитической форме все соотношения, которые еще небыли записаны;
- выразить все условия в виде системы неравенств;
- придать аналитическую форму всем сведеньям содержащимся формализованном описании.
Б) Для создания математической имитационной модели:
- записать в форме пригодной для исследования на ЭВМ алгоритма который воспроизводил бы изучаемый процесс;
В) Для исследования математической комбинированной модели:
- произвести декомпозицию процесса на составляющие подпроцессы;
- выделить те из них, для которых можно построить аналитическую и записать эти модели;
- для остальных подпроцессов построить имитационные модели.
Аналитическое исследование
Метод исследования на аналитической математической модели:
- аналитическое исследование:
Для аналитического исследования модель необходимо преобразовать в такую систему соотношения, которая допускает получение результата аналитическим методом.
Под результатом исследования процесса будем понимать – построение явных формул для искомых величин; привидение уравнений к виду для которого решение известно; проведение уравнения качественными методами (оценка устойчивости, асимптотика).
- исследование при помощи чисел:
Среди недостатков численного метода следует отметить следующие: преобразование математической модели в соответствующую систему уравнений часто остается столь же сложным как и в случаи аналитического исследования; решение задач численным методом является наименее полным по сравнению с аналитическим исследованием и ограничен обследованием конечного количества реализуемого исследуемого процесса; в качестве результатов исследуемых численными методами обычно получают либо табличные результаты, либо аппроксимирующие выражения для конечного набора значений параметров системы, начальных условий и времени.
- исследование качественными методами:
Алгебраические критерии: Гурвица, Михайлова и т.д.
- метод исследования при воздействии случайных возмущений (Монте-Карло):
Метод предполагает наличие аналитической математической модели на вход которой подается последовательность случайных чисел с заданным распределением и рассчитывается значение искомых величин. Предполагается, что если число реализаций использованных для оценки искомых величин достаточно велико, то в силу закона больших чисел получаются оценки преобразованной статистической устойчивости и достаточной. Для практики могут быть приняты в качестве приближенной величины искомых величин.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.
