Анализ и синтез линейных систем автоматического регулирования, страница 3

Проводим прямые с ординатами Lм и - Lм (пунктирными линиями на рисунок (3.1.1). Затем после построения среднечастотной асимптоты (наклон –20 дб/дек) наносим сопрягающую асимптоту с наклоном –40 дб/дек, начиная её из точки среднечастотной асимптоты с ординатой Lм = 16,5 дб.

Высокочастотная асимптота желаемой ЛАЧХ мало влияет на свойства системы, поэтому выбираем (наклон –40 дб/дек) её так, чтобы корректирующее устройство было возможно более простым. Это достигается при совмещении высокочастотных асимптот характеристик Lж(w) и L0(w).

3.1.2 Определение передаточной функции желаемой ЛАЧХ

По виду желаемой ЛАЧХ Lж(w) составляем передаточную функцию разомкнутой скорректированной системы:

.                               (3.1.3)

Проверяем избыток фазы при контрольных частотах wа = 1,148 с-1 wСР = 6,552 с-1 и

wb  47,619 с-1 (рис.2.1.1) по следующей формуле:

g = 1800 + j,                                                  (3.1.4)

где , j < 0.            (3.1.5)

Основная задача сводится к нахождению коэффициентов времени Т1, Т2, Т3, Т4 по формуле:

.                                                        (3.1.6)

 Запас устойчивости по фазе в соответствующих точках должен как можно меньше отличаться от значения g = 480, найденного по номограмме ([1], страница 273). Допустимо отклонение

g± (60¸70). В целях достижения этого условия рекомендуется передвигать сопрягающиеся асимптоты wа и wb(wа – частота сопряжения среднечастотного и низкочастотного участков, wb - частота сопряжения среднечастотного и высокочастотного участков) так, чтобы ординаты L1(wа) и L2(wb) менялись не более 10% от их первоначального значения (в данном случае допустимо ±1,65 дб).

 Сопрягающие частоты и соответствующие им постоянные времени, полученные из выражения (3.1.5) приведены в таблице 3.1.1.

Таблица 3.1.1

w1 = 0,295 с-1

Т1 = 3,3898 с

wа = w2 = 1,148 с-1

Т2 = 0,87093 с

wb = w3 = 47,619 с-1

Т3 = 0,021 с

w4 = 95,5 с-1

Т4 = 0,01047 с

Таблица 3.1.2 – Проверка избытка фазы при контрольных частотах

wа = 1,148 с-1

L1(wа) = 15 дб

jа = -125,66080

gа =54,33920

gа =480 + 6,33920

wb =  47,619 с-1

L2(wb) = -16,5 дб

jb = -162,52580

gb =17,47420

gb =480 – 31,47420

wСР =  6,552 с-1

jСР = -162,52580

gс =70,87960

gс =480 + 22,87960

После соответствующих преобразований передаточная функция желаемой ЛАЧХ разомкнутой скорректированной системы принимает следующий вид:

.

3.1.3 Расчет переходного процесса по вещественной частотной

характеристике методом трапеций

Наиболее известным методом определения переходных процессов является метод построения кривой переходного процесса с помощью трапецеидальных вещественных частотных характеристик АСР.

1) Записываем передаточную функцию замкнутой системы на основе передаточной функции скорректированной разомкнутой системы (системы с включением в ее структуру корректирующего устройства)

,                                               (3.1.7)

.

2) Вычисляем коэффициенты этой передаточной функции:

,                       (3.1.8)

где ;

;

;

;

;

;

;

.

Передаточная функция скорректированной замкнутой системы с учётом найденных коэффициентов имеет следующий вид:

.

3) Выделяем вещественную частотную характеристику замкнутой системы, произведя следующую подстановку:

,                                                         (3.1.9)

.

Записываем значения вещественной и мнимой части для полиномов числителя и знаменателя частотной передаточной функции замкнутой АСР:

,                                                   (3.1.10)

где ;

;

;

.

Записываем значение вещественной частотной характеристики для замкнутой системы:

 ,                                                      (3.1.11)

.

Задавая значения 0 < w < 100 (таблица 3.1.3), строим вещественную частотную характеристику (рисунок 3.1.2).

Таблица 3.1.3 – Значения вещественной характеристики

w

0

0,5

1,5

2

2,5

Р(w)

1

1,01946

1,065

1,057

1,03

w

3

4

5

6

7

Р(w)

0,99

0,888

0,764

0,634

0,505

w

8

9

10

15

20

Р(w)

0,384

0,274

0,177

-0,125

-0,219

w

25

30

35

40

45

Р(w)

-0,224

-0,196

-0,162

-0,13

-0,103

w

50

55

60

65

70

Р(w)

-0,08

-0,06

-0,049

-0,038

-0,029

w

75

85

90

95

100

Р(w)

-0,022

-0,013

-0,009

-0,008

-0,005

4) Разбиваем вещественную частотную характеристику на трапеции. Для этого кривую вещественной характеристики заменяем приближенно трапециями (рисунок 3.1.3) с учетом следующих правил:

разбивка кривой на прямолинейные участки должна с возможно меньшей погрешностью повторять ход кривой;

все трапеции и треугольники должны иметь одну сторону, расположенную на оси ординат;

сумма площадей трапеций и треугольников должна приблизительно равняться площади, ограниченной кривой       вещественной частотной характеристики с учетом знаков отдельных площадок расположенных выше и ниже оси абсцисс;

более тщательно необходимо аппроксимировать начальную часть вещественной частотной характеристики. Ее конечную часть с ординатами, меньшими по абсолютному значению, чем 0.1Р(w = 0).