Первичная обработка наблюдений двух измеримых признаков исследуемого объекта, страница 3

В таблице помещены результаты n наблюдений значений k факторов и отклика. Каждое наблюдение состоит в измерении значения каждого фактора и отклика.

1.2.Составление уравнения регрессии

Связь между наблюдаемыми значениями отклика и факторов представляют в виде некоторой математической зависимости. Наиболее распространенной является линейная зависимость, которая в случае двух факторов имеет вид

                                                                                 (1.2.1)

Уравнение (1.2.1) называется уравнением регресси, причем, y - величина отклика,

x₁, x₂- значения факторов, a₀,a₁,a₂-неизвестные коэффициенты, которые нужно найти.

Найдя коэффициенты a₀, a₁, a₂ и подставив их в (1.2.1), получим близкую к теоретической зависимость отклика y от факторов x₁, x₂, что дает возможность прогнозировать величину y при разных значениях факторов. Коэффициенты a₀,a₁,a₂ находят по экспериментальным данным, поэтому найденные значения только близки к теоретическим значениям и, как говорят, являются оценками теоретических значений этих коэффициентов.

Коэффициенты a₀,a₁,a₂  находят методом наименьших квадратов, исходя из требования

                     Σ [y_i – (a₀+ a₁ x₁+ a₂x₂)]²=min                                      (1.2.2)

Найдя производные уравнения (1.2.2) по a₀,a₁,a₂и приравняв их нулю, получим систему нормальных уравнений для определения неизвестных параметров a₀,a₁,a₂ (1.2.3).

При n наблюдениях суммирование  производится по индексу i=1,2,3,…,n.

Например,

    

Система уравнений (1.2.3) может быть решена методом Гаусса или методом обратной матрицы по формуле (1.2.4)

                                                                                                               (1.2.4)

где матрицы - А, В, Х:

                     ,     В= ,     Х=            (1.2.5)          

Результатом решения системы линейных уравнений методом Гаусса являются неизвестные коэффициенты a₀,a₁,a₂ , которые необходимо подставить в исходное уравнение(1.2.1). Таким образом, получили уравнение регрессии.

2.Постановка задачи

В данном разделе описываются конкретные условия  задачи, соответствующие данному варианту (что дано, что найти).

2.1.Содержательная формулировка задачи

При изучении процесса окисления фосфидов гипрохлоритом натрия в качестве отклика (Y) рассматривался процент окисления фосфидов, а в качестве факторов - величина pH анализируемого раствора (X₁) и температура раствора (X₂).