Матричные игры: Методические указания к выполнению индивидуальных домашних заданий по курсу "Экономико-математические методы", страница 5

2)  фирма  делала закупки в расчете на холодную погоду (применяла первую чистую стратегию), а погода была жаркой;

3)  фирма применяла свою вторую чистую стратегию, т.е. делала закупки в расчете на жаркую погоду, а погода была холодной;

4)  фирма применяла свою вторую чистую стратегию, т.е. делала закупки в расчете на жаркую погоду, и погода была действительно жаркой.

Рассмотрим отдельно каждую из этих ситуаций.

1) Фирма совершает покупки в расчете на холодную погоду, т.е. закупает 1150 ед. товара А и  1725 ед. товара В. При холодной погоде (т.е. первой чистой стратегии природы) продукты продаются в выбранном фирмой соотношении,

т.  е. фирма продаст все продукты, которые закупила (т.е. товар А в количестве 1150 ед., а товар В в количестве 1725 ед.). Учитывая издержки, связанные с розничной продажей, прибыль П фирмы в данном случае равна:

П = 1150*7 + 1725*6 – 1150*4 – 1725*3 – 1900 = 6725 (руб.).

2) Фирма по-прежнему  закупает 1150 ед. товара А и  1725 ед. товара В, рассчитывая на холодную погоду. При жаркой погоде товара А можно было бы продать 2125 ед., но фирма купила только 1150. Товара В фирма купила 1725 ед., но при жаркой погоде можно продать только 425 ед. Излишек товара В в количестве 1725 – 425 = 1300 ед. можно сдать на пищевую переработку по цене на 75 % меньше оптовой, т.е. по 0,25*3 = 0,75 (руб.). Итого, прибыль фирмы в данной ситуации равна

П = 1150*7 + 425*6 – 1150*4 – 1725*3 + 1300*0,75 – 1900 =  –  100 (руб.).

Заметим, что отрицательная прибыль фирмы означает, что фирма несет убытки, если не угадала погоду на завтра.

3) Фирма применяет свою вторую чистую стратегию, т.е. закупает 2125 ед. товара А и  425 ед. товара В, рассчитывая на жаркую погоду.  Если в действительности погода оказалась холодной, то фирма сможет продать только 1150 ед. товара А. Остаток в 2125 – 1150 = 975 ед.  можно будет сдать на пищевую переработку по цене на 75% меньше оптовой, т.е. по 0,25* 4 = 1 руб.

Товара В фирма сможет продать только 425 ед. вместо  возможных 1725 ед. Итак, если фирма применит свою вторую чистую стратегию против первой стратегии природы, то прибыль ожидается равной

П = 1150*7 + 425*6 – 2125*4 – 425*3 + 975*1 – 1900 =  –  100 (руб.).

4) Фирма совершает покупки в расчете на жаркую погоду, т.е. закупает 2125 ед. товара А и  425 ед. товара В. Если погода угадана, то фирма продаст все продукты, которые закупила (т.е. товар А в количестве 2125 ед., а товар В в количестве 425 ед.). Данная ситуация соответствует второй чистой стратегии природы. Учитывая издержки, связанные с розничной продажей, прибыль П фирмы в данном случае равна:

П = 2125*7 + 425*6 – 2125*4 – 425*3 – 1900 = 5750 (руб.).

Таким образом, платежная матрица игры имеет вид:

Найдем решение полученной матричной игры графическим способом.  Пусть вектор  − вектор смешанных стратегий фирмы, а  − вектор смешанных стратегий природы. Тогда платежная функция игры имеет вид:

                 (10)

Оптимальной смешанной стратегии фирмы на рисунке 2.1 соответствует точка K.

Применим к данной игре утверждение 3. Обе чистые стратегии природы являются активными. Обозначим оптимальную смешанную стратегию фирмы .

Итак, пусть , . Тогда .

Пусть , . Тогда . Приравняем эти значения к цене игры  и добавим уравнение , получим систему уравнений:

Решением этой системы будет    .

Итак, оптимальная стратегия фирмы состоит в том, чтобы делать закупки, рассчитывая на завтрашний дождь в 46% случаев, а в 54% случаев − на солнечную погоду. Средняя ожидаемая выручка фирмы при этом должна составить 3050 руб. ежедневно.

            Снова применяя утверждение 3, составим систему для нахождения оптимальной смешанной стратегии природы.

Отсюда

2.  Предположим, что вероятность завтрашнего дождя известна и составляет 40%. Тогда смешанная стратегия природы оказывается равной . Найдем ожидаемую прибыль фирмы с учетом этой информации, если применяется оптимальная смешанная стратегия фирмы. Подставим оптимальную смешанную стратегию фирмы и   в выражение для платежной функции (10):

                       

                                          (руб.).

Заметим, что согласно теореме 3, ожидаемая прибыль фирмы должна была оказаться равной цене игры, т.е. 3050 руб. Отклонение рассчитанной величины от данного значения вызвано погрешностью вычисления оптимальной смешанной стратегии фирмы.

Найдем оптимальную стратегию фирмы на завтрашний день, если администрации известна вероятность завтрашнего дождя, равная 40%. Возможные стратегии фирмы на завтрашний день − это делать закупки  в расчете либо на дождливую, либо на солнечную погоду. Смешанная стратегия природы равна .

Если фирма будет делать закупки в расчете на дождливую погоду, т.е. применять свою первую чистую стратегию , то ее ожидаемая выручка, согласно (10), составит:

(руб.).

Если фирма будет делать закупки в расчете на жаркую погоду, т.е. применять свою вторую чистую стратегию , то ее ожидаемая выручка составит:

(руб.).

Итак, поскольку , то оптимальной стратегией фирмы на следующий день является ее вторая чистая стратегия, т.е. выполнение закупок в количествах  ед. товара А и ед. товара В соответственно. При этом  на следующий день ожидается прибыль, равная 3410 руб.

Задача 3.  Задача о структуре посевов.  

1.  Составим платежную матрицу игры, которая описывается  заданной ситуацией. В данной игре принимают участие два игрока. Первый игрок − агрофирма. У нее две чистые стратегии: засеять всю площадь культурой А или всю площадь культурой В. Второй игрок  − природа. У нее три чистые стратегии: установить засушливое, нормальное или дождливое лето. Поэтому у платежной матрицы  будет две строки и три столбца. Выигрыш агрофирмы  − это ее выручка, полученная с 1 га от продажи выращенных культур. Умножив урожайность культуры А в тех или иных условиях на ожидаемую цену 1 ц  данной культуры, получим ожидаемую выручку агрофирмы с 1 га пашни, засеянного культурой А. В случае засушливого лета ожидаемая выручка составит 1 тыс. руб./ц*18 ц/га = 18 тыс. руб./га, в случае нормального  лета ожидаемая выручка составит    1 тыс. руб./ц *12 ц/га = 12 тыс. руб./га, случае дождливого лета − 1 тыс. руб./ц*32 ц/га = 32 тыс. руб./га. Аналогично рассчитывается ожидаемая выручка в случае применения агрофирмой ее второй чистой стратегии. Итак, игра задается следующей платежной матрицей: