Выпишем соотношения для нахождения оптимальной смешанной стратегии первого игрока, основываясь на утверждении 3. В нашем примере платежная функция, согласно (7), имеет вид:
Пусть оптимальная смешанная стратегия первого игрока равна . По утверждению 3 он получит выигрыш, равный цене игры , с какими бы вероятностями не применял второй игрок свои активные стратегии. Мы рассмотрим случаи, когда второй игрок применяет свои активные чистые стратегии, т.е. либо первую, либо вторую.
Итак, пусть , . Тогда .
Пусть , . Тогда . Приравняем эти значения к цене игры и добавим уравнение , получим систему уравнений:
(9)
Решив эту систему, получаем
Теперь найдем оптимальную смешанную стратегию второго игрока. Пусть она задается вектором . Здесь мы учли тот факт, что третья и четвертая чистые стратегии второго игрока являются пассивными. Выпишем величину проигрыша второго игрока, если он применяет свою оптимальную смешанную стратегию, а первый игрок − свои чистые стратегии.
Пусть . Тогда .
Пусть . Тогда .
Применяем утверждение 3, учитывая, что цена игры найдена и равна получим систему уравнений:
Решив эту систему, получаем . Итак, оптимальная смешанная стратегия второго игрока задается вектором .
Ответ к данной задаче запишем в виде:
|
2. Рассмотрим теперь матричную игру, платежная матрица которой является транспонированной к матрице задачи 1, т.е. игра задается матрицей
В новой игре первый игрок имеет четыре чистые стратегии, а второй − две. Нижняя цена игры а верхняя цена игры .
Так как , то у этой игры нет седловой точки, поэтому нужно искать ее решение в смешанных стратегиях. Пусть − вектор смешанных стратегий первого игрока, а − вектор смешанных стратегий второго игрока. Платежная функция данной игры равна:
Второй игрок имеет две чистые стратегии, поэтому графически будет решаться задача второго игрока. Построения выполняются аналогично п.1, если поменять местами первого и второго игроков (см. рисунок 1.4). Цель второго игрока, согласно его осторожному поведению, состоит в минимизации его возможного риска. Риск второго игрока (т.е. максимально возможный проигрыш второго игрока при применении им той или иной смешанной стратегии) на рисунке 1.4 показан жирной линией. Точка M обозначает минимальный риск второго игрока. Она лежит на пересечении отрезков, соответствующих второй и четвертой чистым стратегиям первого игрока.
Обозначим оптимальную смешанную стратегию второго игрока . Для нахождения значений и воспользуемся утверждением 3. Активными стратегиями первого игрока являются вторая и четвертая. Тогда
1) , => .
2) , =>.
Приравняем эти значения к цене игры и добавим уравнение , получим систему уравнений:
Решив эту систему, получаем
Теперь найдем оптимальную смешанную стратегию первого игрока, . Так как его активные стратегии − вторая и четвертая, а первая и третья пассивные, то . Следовательно, . Применяя утверждение 3 и учитывая, что цена игры уже найдена, получим систему уравнений:
Решая эту систему, получаем
Итак, решение матричной игры задается векторами и ценой игры :
|
Задача 2. Об оптовой закупке при неопределенности розничной продажи.
1. Составим платежную матрицу игры, описывающей предложенную в задаче ситуацию. Эта задача является примером так называемых «игр с природой». Торговая фирма выступает в качестве первого игрока. У нее есть две чистые стратегии: делать закупки, рассчитывая на холодную и дождливую погоду (первая стратегия) или на жаркую солнечную (вторая стратегия). Вторым игроком является природа. У нее также две чистые стратегии. Первая стратегия − установить холодную и дождливую погоду, вторая стратегия − установить жаркую солнечную погоду. Элементы платежной матрицы − это прибыль, которую будет получать фирма в той или иной ситуации. Прибыль рассчитывается как разница между выручкой фирмы от розничной реализации продукции и ежедневными затратами фирмы. Затраты в свою очередь есть сумма средств, направленных на оптовую закупку товаров, и издержек на розничную реализацию продукции.
Рассмотрим первую чистую стратегию фирмы. Пусть фирма планирует закупить товары А и В в количествах kA и kB соответственно. Предполагается, что завтра будет холодная погода. Исходя из статистических данных, на каждые 2 ед. товара А реализуется 3 ед. товара В. Следовательно, фирма должна закупить продукты таким образом, чтобы выполнялось соотношение на их количество. Это значит, что должно выполняться соотношение:
На закупки фирма предполагает тратить 9775 руб. ежедневно. Поэтому, исходя из оптовых цен продуктов, она может купить продукты в количествах, для которых выполнено:
Итак, для нахождения количеств закупаемых в расчете на холодную погоду продуктов, необходимо решить следующую систему уравнений:
Отсюда получаем: kA = 1150 kB= 1725, т.е. необходимо закупить 1150 ед. товара А и 1725 ед. товара В.
Пусть фирма применяет свою вторую чистую стратегию, т.е. делает покупки в расчете на солнечную погоду. Это значит, что фирма предполагает на каждые 5 ед. товара А продать 1 ед. товара В. Следовательно, для количеств nA и nBзакупаемых товаров должно выполняться соотношение:
Учитывая оптовые цены товаров и планируемую сумму трат на их закупку, получаем систему уравнений:
Решение этой системы: kA = 2125, kB= 425. Итак, при второй своей чистой стратегии фирма должна закупить 2125 ед. товара А и 425 ед. товара В.
Теперь рассчитаем ожидаемую прибыль фирмы при различных погодных условиях. Может быть четыре ситуации:
1) фирма применяла свою первую чистую стратегию, т.е. делала закупки в расчете на холодную погоду и угадала;
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.