Дифференциальные зависимости Журавского

Дифференциальные зависимости  между M_X, Q_Y и  q

(дифференциальные зависимости  Журавского Д.И.)

Между внешней нагрузкой, в частности интенсивностью   распределенной   нагрузки   q_yпоперечной   силой Q_yи изгибающим моментом М_zимеются важные диф­ференциальные зависимости, которые часто будут использоваться в дальнейшем.

Рассмотрим балку с внешней распределенной нагруз­кой q, направленной вниз вдоль оси у (рис. 1, а). Такую нагрузку будем считать положительной. Выделим из нее в произвольном месте элемент длиной dх и рассмотрим его.

Действие левой отброшенной части балки на элемент заменим поперечной силой Q_yи изгибающим моментом М_z, а действие правой от­брошенной части — силой Q_y+dQ_yи моментом М_z+ +dM_z,. Здесь dQ_yadM_z— приращение поперечной силы и изгибающего момента на элементе dx. Предположим что поперечные силы и изгибающие моменты положите­льны. Кроме этих сил на элемент действует внешняя распределенная нагрузка q, которую вследствие малости dx можно считать равномерно распределенной. Под дей­ствием указанных сил элемент находится в равновесии.

Составим уравнение проекций сил на ось y

Преобразуем уравнение

Первая производная от поперечной силы по продольной координате х равна интенсивности распределенной нагруз­ки, взятой с обратным знаком.

Составим уравнение моментов для участка dx относительно правого сечения

В этом уравнении  - величина, которой пренебрегаем вследствие ее малости. В соответствии с этим 

Первая производная от изгибающего момента по про­дольной координате х равна поперечной силе.

Вторая производная от изгибающего момента по продольной координате х  равна интенсивности распределенной нагрузки, взятой с обратным знаком.

На основании полученных дифференциальных зависимостей можно сформулировать ряд основных положений, оказывающих помощь при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов и позволяющих выполнять проверку правильности их построения.

1. На участке, где нет распределенной нагрузки, поперечная сила постоянна Q, изгибающий момент М изменяется по линейной зависимости (причем тангенс угла наклона а эпюры М равен силе Q), т.е. если q = 0, следовательно .

Если  то после интегрирования получим M_z = Cx + D- уравнение прямой линии.

В частном случае одновременно может быть q = 0 а Q = 0, тогда изгибающий момент М постоянен.

2. На участке, где имеется равномерно распределен­ная нагрузка, поперечная сила изменяется по линейной зависимости (тангенс угла наклона β эпюры Q равен q), а изгибающий момент — по квадратичной зависимости, у которой выпуклость обращена в сторону действия рас­пределенной нагрузки q.

3. Если участке балки поперечная сила в одном из сечений равна нулю (Q = 0), то изгибающий момент в этом сечении принимает экстремальное значение M_экстр — максимум или минимум.

4.  Если участке балки значение поперечной силы положительно (Q > 0), то ординаты эпюры изгибающих моментов M возрастают.

 Если участке балки значение поперечной силы отрицательно (Q < 0), то ординаты эпюры изгибающих моментов M убывают.