Разработка оптического приемного устройства, страница 10

Таблица 3.2 - Значения для построения импульсной характеристики косинусоидального фильтра низких частот

, нсек

0

0

1

0,08

0,2

0,900

0,16

0,4

0,650

0,24

0,6

0,500

0,32

0,8

0,120

0,4

1,0

0

0,48

1,2

-0,026

0,56

1,4

-0,010

0,6

1,5

0

0,64

1,6

0,006

0,72

1,8

0,007

0,8

2,0

0

Рисунок 3.3 – Косинусоидальная характеристика передачи фильтра

 

1

 

0,5

 

Рисунок 3.4 – Импульсная характеристика фильтра с косинусоидальной функцией передачи

 

2

 

1

 

Несмотря на то, что идеальный фильтр низких частот нереализуем на практике, теоретически он обеспечивает наилучшее отношение сигнал/помеха. Однако, как видно из рисунка 3.2, этот фильтр создавал бы большие напряжения в соседних тактовых интервалах, а это означает, что совсем не большие эффекты уширения импульса или его дрожание вызывают  появление значительных взаимных искажений между символами. Фильтр с косинусоидальной функцией передачи вносит больше шумов, но имеет значительно больший допуск на дрожание и уширение импульса .

Реализуем фильтр с косинусоидальной функцией передачи . По заданной передаточной характеристике определим амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) исходя из выражения:

.

Значения нормированной по частоте АЧХ приведены в таблице 3.3. Вид зависимости показан на рисунке 3.5.

Таблица  3.3 -  Нормированная по частоте АЧХ

параметр

Значение

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

H(Ω)

1

0,976

0,905

0,794

0,655

0,5

0,346

0,21

α, дБ

0

0,21

0,87

2

3,67

6,02

9,22

13,56

Рисунок 3.5  - амплитудно-частотная характеристика

 

0,6

 

0,4

 

0,2

 

Аппроксимируем заданную АЧХ, применив метод интерполяции полиномом. Для этого на оси Ω=f/B  в рабочем диапазоне частот необходимо выбрать узлы интерполяции, которые размещаются с учетом особенностей характеристики α(Ωi). Так как в данном случае характеристика не имеет ярко выраженных максимумов и минимумов, то количество узлов интерполяции примем равным двум и расположим их в точках Ω1 = 0,2 и 0,7.

По значениям α(Ωi) на узлах интерполяции находим рабочий коэффициент передачи из соотношения:

По найденным значениям находим функцию фильтрации , которая связана с рабочим коэффициентом передачи соотношением:

Результаты расчетов сведем в таблицу 3.4.

Таблица 3.4  - Требуемые значения функций на узлах интерполяции

i

α(Ωi), дБ

S2(Ωi)

0,2

0,87

1,22

0,469

0,7

13,56

22,7

4,66

Порядок аппроксимирующего полинома и число коэффициентов Сi определяются число улов интерполяции q:

Полином будет полностью определен, если станут, известны коэффициенты Сi. Коэффициенты полинома определяются необходимой точностью соответствия заданной функции фильтрации и полученной в результате аппроксимации, то есть, справедлива система:

 


……….

Для нашего случая функция фильтрации имеет вид:

Составим систему уравнений для определения коэффициентов Сi:

Решая систему уравнений, получаем:

Таким образом, аппроксимирующая функция определена. Определим теперь аппроксимированный рабочий коэффициентом передачи из соотношения:

Оценим качество приближения заданной кривой α(Ω) (на рисунке 3.6 – ряд 1) и аппроксимированной αа(Ω) (на рисунке 3.6 – ряд 2).  

α(Ω), дБ

 


0,6

 

0,2

 

0,4

 

 

Рисунок 3.6  - Амплитудно-частотная характеристика

 


Предположим, что приближение приемлемое, тогда заменяя в полученном выражении , получаем S(-р2):

Решаем уравнение S(-р2)=0 и определяем корни, расположенные в левой полуплоскости.

Пусть р2=х, тогда

,

 тогда

Корни, расположенные в левой полуплоскости – р2 и р4.

На основании корней, используя теорему Виета, получаем рабочий коэффициент передачи S(р):

По функции S(р) находим передаточную функцию фильтра Т(р), подлежащую реализации:

Найденная на этапе аппроксимации передаточная функция Т(р) может быть реализована как пассивными RLC – цепями, так и активными RC – цепями. Последние находят более широкое применение на практике в связи с возможностью их микроминиатюризации и малыми (по сравнению с пассивными схемами RLC) габаритами. В качестве активных элементов используются усилители с ограниченным коэффициентом усиления, операционные усилители, конверторы и т.д .