Замкнутая одноканальная система массового обслуживания

Глава 10. Замкнутая одноканальная СМО

Все СМО, изученные в предыдущих разделах, обладали общим свойством — входящий поток заявок П_вх и его интенсивность не зависели от состояний системы. Источник поступающих заявок находился вне системы. Рассмотрим СМО, в которых интенсивность потока поступающих заявок зависит от состояния системы. Такие СМО называют замкнутыми или системами Энгсета по имени Т. Энгсета, который впервые дал их полный анализ.

Пусть одноканальная СМО содержит i источников заявок, каждый из которых порождает простейший поток заявок с интенсивностью λ.

Заявка, пришедшая от источника в момент, когда канал занят, становится в очередь и ждет обслуживания. При этом источник может подать следующую заявку только в том случае, если поданная им предыдущая заявка уже обслужена. Среднее время обслуживания каналом одной заявки (безразлично из каких источников)

,

где μ — интенсивность простейшего потока обслуживания.

Таким образом, имеем своеобразную СМО, содержащую конечное число источников заявок, каждый из которых может находиться в одном из двух состояний: активном или пассивном. Активное состояние источника — это такое состояние, при котором уже обслужена поданная им последняя заявка. Пассивное состояние характеризуется тем, что поданная источником последняя заявка еще не обслужена, т.е. либо стоит в очереди, либо находится под обслуживанием.

В активном состоянии источник может подавать заявки, а в пассивном — нет. Следовательно, интенсивность общего потока заявок зависит от того, сколько источников находится в пассивном состоянии, т.е. сколько заявок связано с процессом обслуживания (стоит в очереди или непосредственно обслуживается).

Характерным для замкнутой СМО является зависимость потока заявок от состояний самой СМО. Эта зависимость проявляется существенно при конечном небольшом числе источников заявок. Но если число источников достаточно велико, то практически можно считать, что интенсивность потока заявок не зависит от состояний СМО.

Занумеруем состояния СМО по числу источников, находящихся в пассивном состоянии, т.е. по числу заявок, находящихся в очереди и под обслуживанием:

s₀ — все i источников находятся в активном состоянии, канал свободен, очереди нет;

s₁ — один источник находится в пассивном состоянии, канал обслуживает поданную этим источником заявку, очереди нет;

s₂ — два источника находятся в пассивном состоянии, заявка, поданная одним из них, обслуживается, а заявка, поданная другим источником, стоит в очереди;

…

s_i — все i источников находятся в пассивном состоянии, заявка, поданная одним из них, обслуживается, а i—1 заявок, поданных остальными источниками, стоят в очереди.

Граф состояний приведен на рис. 10.1.

Параметры и характеристики функционирования замкнутой одноканальной СМО представлены в табл. 10.1 и 10.2.

Таблица 10.1

Параметры замкнутой одноканальной СМО

№ п/п	Параметры	Обозначения, значения
1	Число каналов обслуживания	n = 1
2	Число источников заявок	i≥ 1
3	Интенсивность простейшего потока заявок, порождаемого каждым источником	λ = const (λ не зависит от времени)
4	Производительность каждого канала – интенсивность простейшего потока обслуживаний Поб	in Поб = μ = const (μ не зависит от времени)
5	Производительность каждого источника при совершении им полезной работы в активном состоянии	l

Таблица 10.2

Характеристики функционирования замкнутой одноканальной СМО

№ п/п	Предельные характеристики	Обозначения, формулы
1	Показатель (коэффициент) нагрузки системы, порождаемой каждым источником заявок
2	Показатель (коэффициент) нагрузки системы, порождаемой всеми i источниками заявок
3	Вероятность того, что канал свободен
4	Вероятность состояний СМО
5	Вероятность того, что канал занят
6	Абсолютная пропускная способность СМО
7	Интенсивность выходящего потока обслуженных заявок
8	Относительная пропускная способность СМО
9	Среднее число заявок в системе (т.е. среднее число источников, находящихся в пассивном состоянии)
10	Средняя интенсивность среднего суммарного входящего потока заявок
11	Среднее число заявок, находящихся под обслуживанием
12	Среднее число заявок, находящихся в очереди
13	Коэффициент готовности – вероятность того, что произвольный источник находится в активном состоянии
14	Вероятность того, что в момент поступления заявки СМО находилась в состоянии sk
15	Среднее время ожидания заявки в очереди
16	Среднее время обслуживания одной заявки
17	Среднее время пребывания заявки в системе
18	Средняя производительность группы источников, находящихся в активном состоянии
19	Средняя потеря производительности за счет группы источников, находящихся в пассивном состоянии

Тесты

Тест 10.1. Интенсивность входящего потока заявок зависит от состояния системы для СМО

1) с ожиданием

2) с отказами

3) с "нетерпеливыми" заявками

4) замкнутых

5) с ограниченным числом мест в очереди

Тест 10.2. Пассивное состояние источника заявок — это такое состояние, при котором поданная им последняя заявка

1) уже обслужена

2) стоит в очереди

3) находится под обслуживанием

Тест 10.3. Активное состояние источника заявок — это такое состояние, при котором поданная им последняя заявка

1) уже обслужена

2) стоит в очереди

3) находится под обслуживанием

Тест 10.4. В замкнутой одноканальной СМО, состояния системы нумеруют по числу источников, находящихся

1) в активном состоянии

2) в пассивном состоянии

3) в системе

Тест 10.5. В замкнутой СМО абсолютная пропускная способность равна произведению вероятности того, что

1) канал занят, на интенсивность потока обслуживании одним каналом

2) заявка будет обслужена, на интенсивность потока обслуживании одним каналом

3) заявка будет обслужена, на интенсивность входящего потока заявок

Тест 10.6. Для замкнутой СМО предельные вероятности состояний системы существуют при значениях трафика

1) любых

2) больших единицы

3) меньших единицы

Тест 10.7. Интенсивность входящего потока для замкнутой СМО с i источниками, каждый из которых с интенсивностью λ подает заявку на обслуживание в случае, когда k источников находятся в пассивном состоянии, равна

1) λ

2) iλ

3) kλ

4) (i-k)λ